Проектирование полосовых фильтров на элементах с распределенными параметрами

Ранее было показано, что при преобразовании фильтра-прототипа нижних частот из сосредоточенных элементов в полосовой фильтр из тех же элементов в последнем появляются последовательно и параллельно включаемые резонансные LC-цепи.На первый взгляд иметь дело с параллельными и последовательными резонансными цепями затруднительно. Однако включаемые параллельно резонанс­ные цепи сравнительно просто реализуются на элементах с распределенными пара­метрами, например на элементах D и F из табл. 3.3, Элемент D образован параллельно подключаемыми к линии шлейфами, реализующими сосредоточенные элементы L и С. Элемент F, представляющий отрезок однородной линии со слабой связью и с волно­вым сопротивлением Z_в2 ведет себя как параллельная резонансная цепь. Следова­тельно, параллельные резонансные контуры, включаемые в линию параллельно реализуются относительно просто. Как реализовать последовательный резонансный контур, включенный в линию последовательно? Самый простой путь – каскадное соединение отрезка линии с высоким волновым сопротивлением, реализующим индуктивность, с конденсатором, как в примере 3.3. Такое решение приемлемо лишь на относительно невысоких частотах, когда допустимо использование сосредоточен­ных элементов. По мере увеличения частоты приходится искать альтернативные решения. Один из возможных способов, позволяющих отказаться от сосредоточенных элементов – такое преобразование эквивалентной схемы фильтра, при котором в схему не входят последовательные контуры LC, включенные последовательно.

Построения на рис. 3.15 показывают, как с помощью инверсии входное сопротив­ление последовательного резонансного контура LC трансформируется в сопротивле­ние, соответствующее параллельному резонансному контуру. Такую инверсию на фиксированной частоте выполняет четвертьволновый отрезок однородной линии передачи.

Процедура использования инверторов сопротивления при проектировании полосового фильтра из элементов с распределенными параметрами на основе фильтра-прото­типа из сосредоточенных элементов подробно иллюстрируется на рис. 3.16. В схеме полосового фильтра-прототипа третьего порядка (рис. 3.16, а), параметры сосредоточенных элементов пересчитаны по описанной выше методике через g-параметры фильтра-прототипа нижних частот. Если эта стадия проектирования выполнена, то следующий шаг – введение в схему инверторов сопротивления, обозначенных на рис. 3.16 буквой LС. Инверторы преобразуют последовательные резонан-сные цепи в эквивалентные им параллельные (рис. 3.16, б).

Чтобы сопротивление Z фильтра не изменилось после введения инверторов, необходимо в схеме с инверторами заменить сопротивления нагрузки Z_в на Z¹_в.Та­кой прием позволяет добиться равенства значений L и С во всей схеме фильтра, что значительно упрощает его синтез. Включение дополнительных инверторов на входе и выходе фильтра, обозначенных буквой K_в(рис. 3.16, е), преобразует сопротивление Z¹_взаданное, т. е. в Z_в. Показанная на рис. 3.16,в схема фильтра-прототипа из сосредоточенных элементов готова для синтеза.

Рис. 3.15. Инверсия сопротивления четвертьволновым отрезком линии передачи

Элементы, соответствующие инверторам сопротивления, выполняются в виде последовательно включенных четвертьволновых отрезков. В представленной конст­рукции все разомкнутые шлейфы имеют одинаковые длину l₁и волновое сопротив­ление Z_в1, а все короткозамкнутые шлейфы – одинаковую длину l₂ и Z_в2. Рассмат­риваемую конструкцию можно модифицировать, подключив к отрезкам длиной l₂вместо короткого замыкания дополнительный разомкнутый на конце четвертьволно­вый отрезок, входное сопротивление которого равно нулю на резонансной частоте. При такой модификации появляется дополнительное преимущество: через фильтр можно подавать от генератора к нагрузке постоянное напряжение смещения. Расчет шлейфов выполняется по формулам из табл. 3.3 (элемент D) с учетом того, что Z_в1 намного меньше Z_в2.

Чтобы завершить расчет фильтра со шлейфами, находим волновые сопротивления отрезков линии в инверторах:

; (3.20)

. (3.21)

Здесь Z_в – сопротивление, с которым сопрягается фильтр. Параметры g₁и g₂определяются при расчете нормированного фильтра-прототипа нижних частот; В – относительная полоса пропускания фильтра;

В=(ω_в – ω_н)/ω₀.

Рис. 3.16. Процедура реализации полосового фильтра (начало): а – эквивалентная схема трехзвенного полосового фильтра

Рис. 3.16. Процедура реализации полосового фильтра (продолжение): б – эквивалентная схема с инверторами сопротивления; в – схема прототипа со скорректированными сопротивлениями нагрузки; г – реализация фильтра с помощью парал­лельных шлейфов,

Рис. 3.16. Процедура реализации полосового фильтра (продолжение): д – схема прототипа с полуволновыми отрезками линии; е – эквивалент-ность между отрезком связанных линий ицепью, содержащей инвертор; ж – конструкция фильтра на встречных стержнях с модифицированными концевыми отрезками

Рис. 3.16. Процедура реализации полосового фильтра (окончание): з – более простая конструкция полосового фильтра на встречных стержнях

Параметры инвертора с подключенными к его обоим концам четвертьволновым отрезкам линии совпадают с параметрами четвертьволнового отрезка связанных линий передачи при условии:

Z_в.e = Z_в [1 + Z_в/ K + (Z_в/ K)²]; (3,22)

Z_в0 = Z_в[1 - Z_в/ K + ( Z_в/ K)²], (3,23)

где Z_в.е и Z_в0– волновые сопротивления для четного инечетного типов волн в связанных линиях.

Формулы (3.22) и (3,23) применяют к каждому из инверторов с подключенными к нему отрезками. Используя указанную эквивалентность между отрезком связанных линий и встроенным в линию инвертором K, удается получить весьма удобную топологию. Такой тип фильтров получил название фильтров на встречных стержнях. Топология фильтра третьего порядка показана на рис. 3.16, ж. Обратите внимание на реализацию выделенной на рис. 3.16 секции А, а также на реализацию с помощью последовательного соединения полуволнового отрезка и четвертьволнового отрезка, являющегося инвертором концевых участков схемы.

Более привычной является конструкция фильтра на встречных стержнях, получае­мая при подключении к входу и выходу фильтра (рис. 3.16, ж) дополнительных четверть-волновых отрезков линии. Это позволяет синтезировать симметричную конструкцию (рис. 3.16, з). Топология находит широкое применение в технике и позволяет создавать фильтры с полосой пропускания до 15 – 20% (рис. 3.16, з). Ограничения в полосе пропускания обусловлены в основном вариациями фазовых скоростей для четной и нечетной мод на частотах, отличных от расчетной. Реализация фильтров с полосой пропускания более 20 %усложняется из-за весьма малых трудно реализуемых и воспроизводимых расстояний между полосками связанных линий в оконечных звеньях. Чтобы устранить эту трудность, используют топологию (рис. 3.16, ж), обладающую еще и тем преимуществом, что число отрезков связанных линий для трехзвенного фильтра здесь не четыре, как на рис 3.16, з, а всего два.

Рис. 3.17. Эквивалентные компактные конструкции фильтров на встречных стержнях

Рис. 3.18. Отклонение характеристики фильтра на встречных стержнях (…) от аналогич­ной для фильтра-прототипа (¾¾¾)

Первая связана с появлением дополнительных полос пропускания на частотах, отличных от расчетных, что обусловлено периодичностью характеристик отрезков линии передачи и что следует учитывать при проектировании. Полосовой фильтр-прото­тип на сосредоточенных элементах подобных дополнительных полос пропускания не имеет.

Вторая проблема связана со смещением вниз по частоте измеренной частотной характеристики на значение ∆f относительно центральной частоты. Наличие этого сдвига – свидетельство завышения длины резонаторов, т. е. их длина превышает половину длины волныв линии на центральной частоте фильтра. Однако физическая длина резонаторов выбиралась равной половине длины волны в линии. Что же вызы­вает увеличение электрической длины резонаторов? Основной вклад вносят краевые емкости на концах разомкнутых отрезков линии, образующих резонаторы фильтра на встречных стержнях.Подобный одиночный резонатор и его эквивалентная схема, построенная с учетом краевых емкостей, обусловленных на каждом из торцов резо­натора,изображены на рис. 3.19.

Из-за краевых емкостей электрическая длина резонатора оказывается больше его физической длины. Удлинение, которое обозна­чим через ∆l, легко связать со значением крае­вой емкости. Входное сопротивление разомкнутого шлейфа при пренебрежении потерями в нем можно определить по формуле

Х_раз = -jZ_вctg(βl).

Обратимся снова к рис. 3.19. Очевидно, что резонатор с подключенными к нему разомкну­тыми отрезками длиной ∆l будет эквивалентен резонатору с краевыми емкостями, если реак­тивное сопротивление краевой емкости сделать равным входному сопротивлению разомкнутого шлейфа. т.е.

X_раз =1/jωС_кр = -jΖ_в ctg(Δlβ)=-jΖ_в/tg(Δlβ).

Так как Δ l → 0, можно воспользоваться аппроксимацией тангенса при малых углах:

1/jωС_кр = -jΖ_в /Δlβ.

Поскольку β = 2π/λ_g, то

Δ l = Z_в λ_g l С_кр

или

Δl = Ζ_в С_кр ν_ф, (3.24)

где ν_ф = – фазовая скорость для микрополосковой линии; ν_ф = – для линий с чистой ТЕМ-волной.

В (3.24) Ζ_в и ν_ф должны быть заранее известны либо определяются при расчете фильтра. Поэтому остается лишь определить значение краевой емкости и рассчитать новую длину резонатора, чтобы компенсировать увеличение его длины за счет краевых полей

. (3.25)

Уменьшение первоначальной длины резонаторов на значение 2Δl приводит к тому, что измеренная частотная характеристика фильтра будет более точно совпадать с расчетной (рис. 3.18). Поэтому осталось определить значение Δl, являющееся функцией краевой емкости для разомкнутого отрезка линии передачи.

Рис. 3.19. Резонатор (а) и его эквивалентная схема с учетом концевой емкости (б)

Поскольку фильтры на встречных стержнях изготавливаются обычно из отрезков микрополосковой или симметричной полосковой линии, выпишем приближенные формулы для краевой емкости лишь для этих двух линий или, что еще лучше, прямо для Δl. В случае микрополосковой линии

.

Этой формулой следует пользоваться с известной осторожностью, поскольку она получена эмпирически путем обобщения результатов исследования для ряда конк­ретных отношений W/h. Более надежное приближение дает использование значений краевой емкости, найденных численными методами. Затем с помощью (3.24) и (3.25) определяются скорректированные длины резонаторов . Вычисление С_кр в этом случае оказывается достаточно громоздким, поскольку оно основано на исполь­зовании весовых коэффициентов, приведенных в специальных таблицах. Однако при этом удается получить достоверные данные в широком интервале частот для разнооб­разных материалов. Возможно, самый лучший подход заключается в вычислении краевой емкости непосредственно для рассматриваемой конструкции.

Для симметричной полосковой линии

Δl = 0,165 h,

где h – расстояние между экранирующими пластинами.

Пример 3.4. Сконструировать полосовые фильтры на основе топологий, рассмотренных в данном разделе. Конструируемые фильтры должны иметь чебышевскую характеристику с амплитудой осцилляции в полосе пропускания 1 дБ, и их следует синтезировать на основе трехзвенного фильтра-прототипа нижних частот из сосредоточенных элементов. Ширина полосы пропускания фильтров 1 ГГц при центральной частоте 4 ГГц. Фильтры должны быть в микрополосковом исполнении и сопрягаться с 50-омной линией.

Решение

Дано: f₀ = 4 ГГц; f_в – f_н = 1 ГГц; Z_в=Z_н= 50 Ом; n = 3; амплитуда осцилляции 1 дБ. По программе для фильтра с чебышевской характеристикой находим

g₀ = g₄ = 1; g₁ = g₃ = 1,0315; g₂ = 1,1474.

Воспользуемся преобразованием, трансформирующим фильтр нижних частот в полосовой, что приводит к схеме рис. 3.16, а, и определим L_н и С_н:

.

Находим истинные значения L_н и С_н при заданном сопротивлении нагрузки:

L_н = 0,434 нГн; С_н = 3,7 пФ.

Синтезируем фильтр, опираясь на топологию (см. рис. 3.16, г). Пусть Z_в1 = 25 Ом; Z_в2 = 100 Ом. Тогда

B =(ω_в –ω_н) /ω₀=2π·10⁹/8π·10⁹; l=λ_gA/4; Z_вА=(2·50 ·0,25/π)· ;

.

На основании данных табл. 3.3

L₁=Z_в1 C_н f λ_g1 =25·3,7·10^-12 ·4·10⁹ λ_g1=0,37 λ_g1,

L₂=Z_н f λ_g2 / Z_в2 = (0,434·10^-12 ·4·10⁹ λ_g1 )/100=0,0174 λ_g1.

Синтезируем фильтр, опираясь на топологию рис. 3.16, ж. В этой конструкции Z_вB эквивалентно Z_вА в уже рассмотренной конструкции, т. е. Z_вB = 81 Ом; Z_в = 50 Ом.

Выберем K в (3.22) и (3.23) равным Z_вА для рассмотренной конструкции, тогда:

Наконец, рассмотрим третью реализацию фильтра, соответствующую рис. 3.16, з. Как и в предыдущей конструкции, Z_в.еА = 75 Oм; Z_в0А = 39 Ом.

Теперь с помощью (3.22) и (3.23) при K = 81 Ом вычислим:

По найденным значениям находим ширину полосок, расстояние между ними и длины волн в дополнительных отрезках связанных линий. На этом проектирование заканчивается.