ФНЧ на элементах с распределенными параметрами

Физические размеры сосредоточенных элементов уменьшаются с повышением частоты и на частотах выше нескольких сотен мегагерц становятся настолько малы­ми, что их изготовление и применение вызывают серьезные трудности. Кроме того, по мере повышения частоты на параметры сосредоточенных элементов все большее влияние начинают оказывать излучение и тепловые потери в них. Поэтому на достаточно высоких частотах предпочтение часто отдается отрезкам линии передачи, используемым в качестве элементов фильтров. Подбором длин и волновых сопротив­лений таких отрезков стараются смоделировать поведение сосредоточенных элемен­тов в схеме соответствующего фильтра-прототипа. Однако такой подход к синтезу фильтров является лишь начальным и весьма грубым приближением, поскольку в этом случае не учитывается ряд важных факторов, влияющих на частотную характе­ристику фильтра, таких, как реактивности в месте стыка отрезков линий передачи, дисперсия в линиях передачи, периодичность частотных характеристик элементов с распределенными параметрами. Поэтому схемы фильтров, полученные подобным методом синтеза, можно рассматривать как первое или начальное приближение при проектировании фильтров.

Чтобы понять, как с помощью отрезка линии передачи можно смоделировать поведение сосредоточенного реактивного элемента (например, индуктивности или емкости), обратимся к рис. 3.8, на котором изображена Т-образная эквивалентная схема отрезка линии передачи и выписаны соответствующие формулы. Когда отрезок линии имеет достаточно малую физическую длину, можно в первом прибли­жении пренебречь тепловыми потерями в нем. В формулах перехода (рис. 3.8, б) гиперболические функции перейдут в тригонометрические, а эквивалентная схема будет содержать лишь реактивные элементы (рис. 3.8, в).

Согласно рис. 3.8,б, в

X_L = 2Z_в tg(βl/2), (3.8)

X_C =l/B = Z_в/sin(βl). (3.9)

При записи (3.8) и (3.9) полагалось, что α = 0. Если короткий отрезок линии представить П-образной эквивалентной схемой, то, рассуждая аналогично, при α = 0 прихо­дим к следующим равенствам:

X_L=Z_в sin (βl), (3.10)

X_C= l/B = Z_в / [2tg(βl/2)]. (3.11)

Отметим, что в (3.9) и (3.10) не входит функция тангенса, что является положитель­ным моментом, поскольку во многих микро­компьютерах при вычислениях значения аргумента приводятся к первому или третьему квадранту. Поэтому требуется дополнительная проверка, чтобы выяснить принадлежность аргумента ко второму или четвертому квадранту.

Подставляя в (3.8)–(3.11) β=ω/ν_ф и используя аппроксимацию tg θ ≈ sin θ ≈ θ, которая верна при малых длинах отрезка линии, получаем следующие формулы:

для эквивалентной Т-образной схемы:

; (3.12)

; (3.13)

для эквивалентной П-образной схемы:

; (3.14)

. (3.15)

Рис. 3.8. Отрезок линии (а)и его эквива­лентные симметричная Т-образная схема (б)и схема на сосредоточенных элементах при отсутствии потерь (в)

Идентичность формул (3.12) и (3.14), а также (3.13) и (3.15) указывает на дуальность эквивалентных Т- и П-образных схем для отрезка линии передачи.

Из (3.12) - (3.15) следует, что характеристики сосредоточенных элементов и эле­ментов с распределенными параметрами связаны соотношениями

; (3.16); . (3.17)

Поэтому, если короткий отрезок линии передачи с весьма высоким волновым сопротивлением включен в разрыв линии с более низким волновым сопротивлением, то в (3.17) С → 0. Следовательно, такой отрезок эквивалентен включенной последова­тельно индуктивности. Соответственно, если в разрыв линии передачи с высоким волновым сопротивлением включитьотрезок с малым волновым сопротивлением, то согласно (3.16) и (3.17) такой отрезок будет вести себя как емкость, включенная в линию параллельно.

Опираясь на рассмотренные элементы с распределенными параметрами, эквива­лентные сосредоточенным, можно реализовать ряд элементов с другим включением: параллельная индуктивность, последовательный контур, включенный параллельно, и др. Эквиваленты схем на сосредоточенных элементах и их реализация на элементах с распределенными параметрами из полосковой (микрополосковой) линии передачи, а также границы применимости приведены в табл. 3.3. Реализация с помощью отрезков полосковых и микрополосковых линий сосредо­точенных элементов типа В, D или Е, но включенных последовательно,возможна лишь с использованием специальных приемов.

Таблица 3.3

Например, для реализации последова­тельно включенной емкости в отрезке линии прорезаются поперечные щели. Необхо­димость в таких элементах возникает при реализации из отрезков линии передачи сосредоточенных элементов фильтров-прототипов верхних частот и полосовых.

Пример 3.2. Сконструировать ФНЧ с максимально плоской характеристикой и частотой среза 1 ГГц из отрезков однородной линии передачи. Рассмотрение показало, что фильтр должен иметь пять звеньев и его следует встроить в 25-омную линиюпередачи. Фильтр реализуется на полосковой линии с относительной толщиной полоски t/b = 0,05 и относительной диэлектрической проницаемостью заполняющего диэлектрика 4, Рассчитать затухание, вносимое фильтром на частоте 2 ГГц.

Решение

1. Рассчитываем g-параметры для пятизвенного фильтра-прототипа с макси­мальной плоской характеристикой:

g₀ = g₆ = 1,0; g₁ = g₅ = 0,618; g₂ = g₄ = 1,619; g₃ = 2,0.

2. Топологию выбираем так, чтобы ее полосковая реализация была по возможности проще, в частности, следует избегать последовательно включаемых конденсаторов (рис. 3.9).

3. Вычисляем значения L и С в выбранной схеме при условии, что частота среза 1 ГГц или

ω_ср = 2π∙10⁹рад/с; R_н=R₁ =R₂=25Ом;

;

;

;

.

4. Затухание, вносимое фильтром на частоте 2 ГГц, рассчитывается по формуле(3.4):

.

Рис. 3.9. Схема фильтра к примеру 3.2

5. Построим схему фильтра на элементах с распределенными параметрами, эквивалентную схеме со сосредоточенными элементами (рис. 3.10).

При проектировании устройств из отрезков линии передачи можно варьировать двумя параметрами: волновым сопротивлением и длиной.

Обычно при создании фильтров волновое сопротивление отрезков с высоким и низким волновыми сопротивлениями, необходимых для реализации эквивалентных сосредоточенных L и C, выбирается исходя из конструктивных особенностей линии, а требуемый размер элемента достигается подбором длины отрезка.

Ограничения на максимальное и минимальное значения волнового сопротивления линии зависят в каждом конкретном случае от используемых материалов. При реализации фильтра на симметричной полосковой линии ε_r = 4 ширина полоски в питающей линии с волновым сопротивлением 25 Ом равна 7 мм. Рассмотрим ограничения, накладываемые на выбор ширины полоски W₂в отрезке линии с низким волновым сопротивлением (рис. 3.10), являющимся распределенным аналогом параллельного конденсатора С₁ в схеме на рис. 3.9. Наибольшая ширина W₂ограничена разме­ром, при котором в линии возникает поперечный резонанс. Поэтому целесообразно выбирать ее не более четверти длины волны на самой высокой рабочей частоте (пусть в данном случае она равна 1,5 см). Это позволяет сохранять одноволновый режим в линии. При W₂ = = 1,5 см волновое сопротивление равно 12,5 Ом. Минимальная ширина полоски W₃ ограничивается принятой технологией и обычно должна быть не менее 1 мм. При W₃= 1 мм волновое сопротивление отрезка равно 70 Ом.

Рис. 3.10. Фильтр нижних частот на элементах с распределенными параметрами

Прежде чем продолжать расчет, напомним, что в проводимом приближенном синтезе схемы фильтра не учитывается влияние неоднородностей, возникающих в местах стыка отрезков с разными волновыми сопро­тивлениями. Влияние неоднородностей обсуждается в конце данного раздела.

6. После выбора значений W₂и W₃ определим длины всех отрезков линии в фильтре, являющихся анало­гами реактивных элементов в схеме фильтра-прототипа нижних частот. В формулы (3.9) и (3.10), из которых определяется длина отрезков линии, входит величина β = 2π/λ_g , где λ_g – длина волны в линии, соответствующая каждому из отрезков.

Длина отрезка линии, реализующего индуктивность L:

l_L=(λ_gL /2π)arc sin(ωL/Z_вL),

где λ_gL и Z_вL – соответственно длина волны и волновое сопротивление для этого отрезка линии. Длина отрезка линии, реализующего емкость С:

l_C=( λ_gC /2π)arc sin (ωCZ_вC),

где λ_gC и Z_вC – соответственно длина волны и волновое сопротивление для этого отрезка линии.

Отметим, что в этих выражениях аргумент функции синус выражается в радианах. В общем случае λ_gL ≠ λ_gC , т. к. длина волны может зависеть от волнового сопротивления, что имеет место, например, в микрополосковой линии. В симметричной полосковой линии λ_gL = λ_gC = λ_g,

где .

Поскольку L₁= L₂= 6,3 нГн, то

l₁ = l₂ =(15/2π) arc sin (2π∙10⁹∙6,3∙10^-9/70).

Если при вычислениях значения функции arc sin получаются в градусах, то их следует перевести в радианы.

Теперь рассчитываем длины отрезков, см, соответствующих конденсаторам с параметрами С₁= С₃= 4 пФи С₂= 12,7пФ:

l₁ = l₅ =(15/2π) arc sin (2π∙10⁹∙4∙10^-9 ∙12,5) = 0,75;

l₃ =(15/2π) arc sin (2π∙10⁹∙12,7∙10^-9 ∙12,5) = 3,6.

На этом проектирование фильтра в первом приближении заканчивается.

Полученное значение l₃ = 3,6 см довольно велико. Для уменьшения длины отрез­ка l₃ следует снизить его волновое сопротивление. При рассчитанных длинах всех отрезков общая длина конструкции около 8 см, что составляет примерно половину длины волны в линии на частоте 1 ГГц.

В проведенном выше первоначальном расчете не учитывалось влияние концевых емкостей в эквивалентной П-образной схеме отрезка линии с высоким волновым сопротивлением. Реактивное сопротивление этих конденсаторов

или, в случае короткого отрезка линии:

. (3.18)

Аналогично пренебрегалось влиянием концевых индуктивностей в эквивалент­ной Т-образной схеме отрезка линии с низким волновым сопротивлением. Значения этих индуктивностей можно определить по формуле

. (3.19)

Для более точного описания реальной физической ситуации эти параметры следует включить в первоначальный расчет. Конструкцию фильтра (см. рис. 3.10) представим в виде эквивалентной схемы, состоящей из сосредоточенных элементов, включив в нее концевые емкости и индуктивнос­ти. Такая эквивалентная схема (рис. 3.11) более точно аппроксимирует конструкцию на рис. 3.10, чем схема фильтра-прототипа (см. рис. 3.9). Схема на рис. 3.11 образуется полными Т- и П-образными эквивалентными схемами для каждого отрезка линии, входящего в конструкцию фильтра.

Следующим шагом, служащим продолжением первоначально выполненного расчета, где пренебрегалось влиянием концевых реактивностей, является вычисле­ние значений концевых элементов по формулам (3.18) и (3.19).

Рис. 3.11. Эквивалентная схема к примеру 3.2, использующая полные Т- и П- образные схемы замещения для каждого отрезка линии

Расчет элементов эквивалентной схемы на рис. 3.11 выполняем следующим обра­зом. Вначале скорректируем полученные ранее значения емкостей, не учитывая концевые индуктивности. Это позволяет при проектировании фильтра учесть влия­ние концевых емкостей для отрезков линии, реализующих индуктивности. Коррек­ция состоит в вычитании рассчитанных значений концевых емкостей из полученных ранее значений емкостей С₁, С₂ и С₃. Новые значения емкостей используются для определения новых длин отрезков, их реализующих. После этого вычисляем значения концевых индуктивностей для отрезков линии с низким волновым сопротивлени­ем. Полученные значения вычитаем из рассчитанных ранее значений L₁и L₂ для фильтра-прототипа. Находим новые длины отрезков, реализующих новые значения индуктивностей.

Описанный выше процесс вычисления концевых индуктивностей и емкостей, которые используются для коррекции параметров ранее рассчитанных элементов фильтра-прототипа и получения уточненных длин отрезков линии, повторяется до тех пор, пока скорректированные значения индуктивностей и емкостей не начнут приближаться к некоторым фиксированным значениям. Таким путем определяются уточненные значения длин отрезков, рассчитанные вначале с помощью фильтра-прототипа на сосредоточенных элементах.