Автоматизированное проектирование дорог с помощью кривых Безье.

В 1970 г. Пьер Безье (французский математик) подобрал составляющие параметрического кубического многочлена таким образом, что их физический смысл стал очень наглядным и весьма подходящим для решения многих прикладных задач, в том числе и для целей проектирования дорог по принципу "тангенциального трассирования".

Формула Безье для кубического многочлена (n = 3) имеет следующий вид.

Пусть ri = , i = 0, 1, 2, 3, тогда для 0 ≤ t ≤ 1:

или в матричной форме:

.

Матрица M называется базисной матрицей кубической кривой Безье.

Кривая, представленная в форме Безье, проходит через точки r0 и r3, имеет касательную в точке r0, направленную от r0 к r1, и касательную в точке r3, направленную от r2 к r3.

Прямые Р0Р1, Р1Р2 и Р2Р3 образуют фигуру, называемую характеристической (определяющей) ломаной, которая и предопределяет очертания кривой Безье (рис. 2.6).

Чтобы построить кривую, задают точки Р0 и Р3, через которые должна проходить кривая, затем на желаемых касательных к этой кривой в точках Р0 и Р3 задают точки Р1 и Р2. Изменяя длины отрезков Р0Р1 и Р2Р3 варьируют очертаниями кривой, придавая ей желаемую форму.

Рис. 2.6. Сегмент кубической кривой Безье

Главной контролируемой величиной при проектировании кривых в плане является радиус кривизны. Для того, чтобы вычислять радиус кривизны в каждой точке кривой, необходимо знать значения первой и второй производных радиуса-вектора точки. Для кубической кривой Безье первая и вторая производные вычисляют по нижеприведенным формулам:

, .

Тогда кривизна (величина, обратная радиусу кривизны) вычисляется по формуле: .

Помимо кривой Безье 3-го порядка (кубической) для целей трассирования дорог возможно применение также кривых Безье 2-го, 4-го и 5-го порядков. Соответствующие формулы для вычисления радиусов-векторов (и их производных) для этих кривых приведены ниже.

Кривая Безье 2-го порядка: .

Кривая Безье 4-го порядка: .

Кривая Безье 5-го порядка: .

Объединением элементарных кривых Безье γ(1), γ(2),…, γ(l), у которых концевая точка кривой γ(i), i = 1, 2,…, l–1, совпадает с начальной точкой кривой γ(i+1), получается составная кривая Безье. Если каждая кривая γ(i) задается параметрическим уравнением вида

r = r(i) (t), 0 ≤ t≤ 1,

то это условие записывается так:

r(i) (1) = r(i+1) (0), i = 1, 2,…, l–1.

В частности, для того, чтобы касательная составной кривой Безье, определяемой набором точек P0, P1, …, Pm, изменялась непрерывно вдоль этой кривой, необходимо, чтобы тройки вершин P3i-1, P3i, P3i+1 (i ≥ 1) были коллинеарными, то есть лежали на одной прямой (см. рис. 2.7).

Рис. 2.7.Составная кубическая кривая Безье

Пространственные кривые Безье.Выше, в рассуждениях о Безье-кривых понималось плоское расположение опорных точек трассы и, соответственно, рассматривалось представление только плоских кривых. В общем случае опорные точки характеристической ломаной Безье задаются точками трехмерного пространства Pi(xi, yi, zi), i = 0, 1 ,…, m.

Тогда пространственная кривая Безье степени m определяется уравнением, имеющим следующий вид:

где – многочлены Бернштейна.

Матричная запись параметрических уравнений, описывающих пространственную кривую Безье, имеет вид:

0≤ t ≤ 1,

где

Более подробное изложение пространственного трассирования дорог приведено в гл. 5.

Методическое обеспечение – совокупность методических материалов, способствующих функционированию САПР.

Профессиональные САПР имеют, как правило, методическое сопровождение в виде "Справочных руководств" в бумажном виде. Главное меню таких систем также содержит раздел Справка (Помощь), в котором представлено описание основных проектных процедур.

В процессе эксплуатации САПР накапливается опыт рациональной выработки проектных решений на основе всей совокупности инструментальных средств системы. Этот опыт, как правило, излагается в форме "Практических руководств (пособий)" и способствует повышению эффективности и качества инженерного труда

 









Дата добавления: 2015-02-28; просмотров: 2808;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.008 сек.