Теоремы подобия

Для того чтобы правильно поставить эксперимент, необходимо решить, по крайней мере, три основных вопроса: 1) какие величины надо измерять в опыте; 2) как обрабатывать результаты опыта; 3) на какие явления могут быть распространены полученные расчетные зависимости. Ответы на эти вопросы дают три теоремы подобия, излагающие основное содержание рассматриваемого метода.

Первая теорема подобия, впервые сформулированная Ньютоном (1685 г.), утверждает: для подобных явлений любые одноименные критерии равны. Ею дается ответ на первый из поставленных выше вопросов: в опытах нужно измерять все те величины, которые входят в критерий подобия, характеризующие данный процесс.

Вторая теорема подобия, предложенная Федерманом (1911 г.) и Букингемом (1914 г.), может быть сформулирована так: решение дифференциального уравнения может быть представлено в виде функциональной зависимости между критериями подобия, характеризующими процесс и полученными из исходного уравнения (или системы уравнений). Такая зависимость называется уравнением подобия, или критериальным уравнением. Теорема отвечает на второй вопрос о том, как обрабатывать результаты опыта: опытные данные надо обрабатывать в виде зависимости между критериями подобия, т. е. в виде уравнения подобия.

Третья теорема подобия – теорема М.В. Кирпичева и А.А. Гухмана (1931 г.) уточняет условия, необходимые и достаточные, чтобы установить, на какие явления могут быть распространены результаты, полученные в модельном эксперименте, т. е. какие явления подобны исследованному. Теорема формулируется так: подобны между собой те явления, у которых условия однозначности подобны и определяющие критерии равны.

Определяющими называются критерии подобия, составленные только из величин, входящих в условия однозначности. Критерии подобия, содержащие зависимые переменные, называются определяемыми.

Сформулированные третьей теоремой условия являются необходимыми и достаточными для подобия, в то время как первая теорема формулирует лишь необходимые условия подобия явлений. Заметим, что третью теорему подобия можно было бы сформулировать и так: подобны между собой те явления, которые принадлежат к одному классу, к одному роду и имеют равные определяющие критерии подобия. При этом равенство определяемых критериев вытекает как следствие из указанных условий и в специальной проверке не нуждается.

Итак, третья теорема, определяя условия, по которым могут быть найдены явления, подобные изученному экспериментально, дает ответ на третий вопрос, стоящий перед экспериментатором: полученные в результате обработки опытных данных расчетные зависимости могут быть распространены на группу явлений, подобных изученному.

Таким образом, применение теории подобия позволяет правильно поставить опыт, изучить сложные физические явления и процессы на моделях и, обработав результаты опыта в виде чисел подобия, составить уравнение подобия, пригодное для расчета всей группы явлений, подобных изученному. Тем самым ограничивается и уменьшается количество необходимых опытных данных: для каждой группы подобных явлений (подчас весьма многочисленной) достаточно выполнить лишь одно экспериментальное исследование. Метод исследования, основанный на применении теории подобия, называется методом подобия.

Необходимо, однако, помнить, что получаемые методом подобия обобщенные расчетные зависимости применимы лишь в тех пределах изменения определяющих критериев, которые имели место в эксперименте. Универсального решения метод подобия дать не может, он позволяет лишь обобщать опытные данные в области, ограниченной условиями подобия.