Обобщенный закон трения

Все реальные жидкости и газы обладают вязкостью, т.е. оказывают сопротивление смещению одних частиц относительно других. Результатом этого является возникновение в них наряду с нормальными напряжениями также и касательных напряжений. Интенсивность смещения частиц характеризуется скоростью деформации. Поэтому логично установить связь между напряжениями в движущейся жидкости и характеристикой ее деформационного движения.

Предположим, что вектор напряжений , действующих на площадке dS, ориентированной в соответствии с вектором , можно представить в виде суммы двух векторов:

, (1.10)

где – вектор, действующий по нормали к площадке, значение которого определяется скалярной величиной N; – вектор, обусловленный только вязкостью.

Представим вектор напряжений, зависящий от вязкости в виде

,

где – тензор напряжений, обусловленных вязкостью.

Тогда уравнение (1.10) примет вид

. (1.11)

Для широкого класса жидкостей («ньютоновских» жидкостей) экспериментально установлено наличие линейной связи между тензором напряжений, зависящим от вязкости, и тензором скоростей деформаций

(1.12)

или

.

Уравнение (1.12) называют обобщенным законом трения.

Представим скалярную величину N в виде матрицы, умножив ее на единичную матрицу (тензорную единицу)

.

Тогда матричная форма уравнения (1.11) будет иметь вид

или

Среднее арифметическое нормальных напряжений, действующих на трех взаимно-перпендикулярных площадках, проходящих через одну точку и расположенных в координатных плоскостях, взятое с обратным знаком, считают гидродинамическим давлением p в этой точке

. (1.13)

Из данного уравнения следует, что формально введенная скалярная величина N определяется гидродинамическим давлением, вязкостью и скоростью потока жидкости

.

На основании материала, изложенного выше, вектор напряжений, действующий на произвольной площадке, ориентация которой в пространстве задана, определяется уравнением

, (1.14)

которое устанавливают зависимость его от гидродинамического давления, вязкости жидкости и скоростями ее деформации.