Скоростное поле среды в окрестности точки

В движущейся жидкости связь между скоростями точек имеет сложный вид. Это связано с возможностью перемещения отдельных частиц относительно им подобных, что приводит к деформации выделенного объема жидкости – растяжению, т.е. изменению линейных размеров вдоль координатных осей, и изменению угла между гранями, образующими этот объем. Движение элементарного объема жидкости раскладывают на движение его как абсолютно твердого тела (квазитвердого тела) и деформационное движение.

. (1.1)

Уравнение (1.1) является математической формулировкой первой теоремы Гельмгольца.

Скорость любой точки квазитвердого тела определяется выражением

,

где – вектор скорости точки тела, выбранной в качестве полюса; – вектор угловой скорости вращения рассматриваемой точки относительно полюса; r и r₀ – радиус-векторы, задающие положение точки и полюса в пространстве.

Скорость деформационного движения представляют в виде

,

где u, v и w – проекции вектора скорости полюса на оси координат; – радиус вектор точки относительно полюса.

Матрицу, входящую в качестве сомножителя в правую часть уравнения, называют тензором скоростей деформаций

.(1.2)

Используя введенные обозначения, скорость деформационного движения описывается следующим выражением

. (1.3)

Величины, стоящие на главной диагонали матрицы и обозначенные одноименными индексами, представляют собой скорости относительных линейных деформаций вдоль соответствующих осей координат.

На рисунке изображен отрезок, связывающий две точки жидкости, движущиеся вдоль оси x в различные моменты времени. Абсолютное приращение длины отрезка за время dt вследствие различных значений скоростей его крайних точек

.

Скорость удлинения отрезка (скорость линейной деформации) равна

,

а скорость увеличения длины относительно первоначальной (скорость относительной линейной деформации) определяется выражением

.

Величины, расположенные выше и ниже главной диагонали матрицы (1.2) и обозначенные разноименными индексами, представляют собой угловые скорости деформации граней выделенного объема в различных координатных плоскостях.

На рис. 1.1 представлена схема, поясняющая угловую деформацию жидкой частицы в процессе движения.

Рис. 1.1. Схема угловой деформации движущейся частицы жидкости

а) – поворот отрезка; б) – изменение угла между гранями

При движении отрезка Dx вдоль оси y (рис. 1.1, а) вследствие различия скоростей его концов происходит поворот на угол Da₁

.

Угловая скорость этого поворота равна

.

Угловая скорость поворота отрезка, параллельного в начальный момент оси y, равна

.

Возможность поворота всех граней элементарного объема жидкости приводит к изменению углов между соседними гранями в процессе движения .

Одно и тоже изменение угла b между гранями может быть достигнуто различными сочетаниями поворотов граней (например, как показано на рис. 1.1, б, основным и тусклым цветами). Это приводит к неоднозначности в определении истинных значений угловых скоростей поворота граней, дающих одинаковый результат. В гидравлике условно принимают угловые скорости поворота каждой из соседних граней одинаковыми, равными среднему арифметическому значению угловых скоростей обоих граней

.