III. Защита и охрана окружающей среды

 

Исследование процессов дискретизации и восстановления непрерывных сигналов.

 

Краткие теоретические сведения

 

Представление непрерывной функции дискретной последовательностью от­счётов её мгновенных значений. Для точного представления произвольной не­прерывной функции x(t) на конечном интервале времени Т необходимо распо­лагать данными о мгновенных значениях (отсчётах) этой функции во всех точках интервала, т. е.

       
   
 
 

 

 


 

 

Рис. 6.1. Дискретизация непрерывной функции времени посредством периодической коммутации с частотой дискретизации Fд=1/D

 

непрерывным множеством отсчётов, отстоящих друг от друга на бесконечно малые интервалы. Некоторое приближённое представле­ние о функции x(t) можно составить по её отображению в виде дискретной по­следовательности импульсов, имеющих на интервалах D значения x(iD), назы­ваемых отсчётами.

Операция замены непрерывной функции последовательностью отсчётов её мгновенных значений называется дискретизацией. В качестве простейшей фи­зической модели дискретизации рассмотрим коммутационное устройство (рис. 6.1, а). С помощью ключа Кл обеспечивается периодическое с частотой дискретизации fд = 1/D подключение к источнику непрерывного сигнала x(t)(рис. 6.1, б) на время t, т.е. производится замена непрерывной функции x(t)последовательностью xд(t) на интервалах t (рис. 6.1, в). Последовательность от­счётов xд(t)можно трактовать как произведение x(t) на периодическую после­довательность импульсов дискретизации fд(t) (рис. 6.2):

где импульсы дискретизации

Множитель 1/t нормирует функцию yt(t) к единичной площади. Для этого в схеме рис. 6.1, а по­сле ключа Кл введено масштабное звено. Чтобы перейти к отсчётам мгновен­ных значений x(t) в точках t = kD, необходимо рассмотреть особенности периодической функции fд(t) при t®0.

 
 

 


Рис. 6.2. Дискретизация непрерывной функции х(t) путем её умножения на периодическую последовательность импульсов fд(t)

Нетрудно видеть, что при t®0 эта периодическая функция заменяется решётчатой функцией

Дискретный сигнал

Рис.2
Спектральная трактовка дискретизации. Как было по­казано, процедура дискретизации сводится к образованию произведения дискретизируемой функции x(t) на последо­вательность импульсов дискретизации fд(t). В спектральной области произведению функций времени соответствует свёртка их спектров. Пусть спектр функции x(t) финитен и имеет вид, представленный на рис. 6.3, а, где Fв - верхняя (граничная) частота.

Спектр периодической последовательности импульсов дискретизации является линейчатым (рис. 6.3, б). Частота дискретизации определяется интервалом дискретизации Fд = 1/D. Спектры дискретизированного сигнала представлены для случаев, когда Fд = 2Fв (рис. 6.3, в), Fд>2Fв (рис. 6.3, г) и Fд < 2Fв (рис. 6.3). Для неискажён­ного воспроизведения функции x(t) по последовательности отсчётов посредст­вом идеального фильтра низких частот необходимо выбирать частоту дискре­тизации так, чтобы спектральные ком­поненты свёртки Sx(t) с каждой из дискретных составляющих периодиче­ской функции Fд (p=0, ±1, ±2, ...) рас­полагались в неперекрывающихся об­ластях (рис. 6.3). Этому соответствуют значения Fд³2Fв. При Fд < 2Fв спек­тральные области перекрываются, в полосу частот (-Fв, Fв) дискретизируемого сигнала попадут спектральные компоненты смежных областей и воз­никнут искажения при восстановлении функции по отсчётам. Далее будет по­казано, что для точного воспроизведе­ния непрерывной функции с ограничен­ным (финитным) спектром достаточно располагать значениями функции (отсчётами) лишь в отдельных точках. Модели сигналов с ограниченным спектром часто используются в технике связи. В частности, в стандартном те­лефонном канале за верхнюю гранич­ную частоту принимают Fв=3400 Гц, при телевизионной передаче граничная частота определяется числом различимых элементов изображения и равна Fв = 6,5 МГц.

 
 

 


Рис. 6.3

 

Теорема отсчётов. Фундаментальное значение для решения многих задач теории передачи сигналов имеет следующая теорема отсчётов Котельникова: непрерывная функция х(t), не содержащая частот выше граничной Fв, полно­стью определяется отсчётами мгновенных значений х(kD) в точках, отстоящих друг от друга на интервалы D£ 1/2 Fв. Интервал D называется интервалом Котельникова. Эта теорема позволяет представить непрерывную функцию x(t) в виде ряда

(6.1)

Из сопоставления ряда (6.1) с общим видом обобщённого ряда Фурье в пространстве Гильберта следует, что элементарными базисными функциями в разложении Котельникова являются отсчётные функции:

(6.2)

Для коэффициентов разложения x(t) по элементарным функциям (6.2) можем записать

(6.3)

где постоянная а вводится с учётом нормировки функций (6.2). Докажем, что коэффициен­ты соответствуют мгновенным значениям функции x(t) в точках t =kD . Пусть пре­образование Фурье функции x(t), тогда

где (6.5)

Если x(t) имеет ограниченный спектр с наивысшей частотой Fв, то вне полосы ±Fв равно нулю, а выражение (6.4) принимает вид Пусть t= kD, тогда или после подстановки в последнее выражение вместо его значе­ния из (6.5) и изменения порядка интегрирования получим

После вычисления интеграла в квадратных скобках

получаем

(6.6)

Сравнение (6.6) с (6.3) при показывает, что коэффициентами обобщённого ряда Фурье разложения по ортогональным функциям (6.2) являются отсчёты x(kT)/a мгновенных значений функции x(t)/a в моменты t=kD.

Восстановление непрерывной функции по отсчётам. Процедура восстановле­ния непрерывной функции x(t) по отсчётам её мгновенных значений х(kD) вы­текает непосредственно из (6.1): нужно перемножить значения отсчётов x(kD)на соответствующие отсчётные функции (6.2) и просуммировать полученные произведения. Эти операции иллюстрирует рис. 6.4. Спектральная трактовка процесса восстановления x(t) следует из рис. 6.3.

Для полного восстановления необходимо просуммировать бесконечное множество членов ряда (1). Однако если функция с ограниченным спектром x(t) рассматривается на конечном интервале Т (рис. 6.4, а), то точное разло­жение (6.1) можно заменить следующим приближённым разложением:

(6.7)

Конечное число отсчётов п, определяющее xe(t), равно (при D = l/2Fв)

n= T/D+1 = 2FвT + 1.

Параметр В = 2FвТ, играющий важную роль в ТЭС, называют базой сигнала. Очевидно, что погрешность представления сигнала при ограничении числа его отсчётов будет тем больше, чем меньшее число слагаемых учитывается при суммировании.

Оценим качественно погрешность Поскольку все слагаемые ряда (6.1) обращаются при t=iD в нуль во всех точках, за исключением слагаемого с номером k = i, то в этих сечениях значения xe(t) совпадают с x(t), т.е. погрешность e(kD) равна нулю; погреш­ность достигнет наибольшей величины внутри промежутка между отсчётами. Кроме того, ве­личина погрешности нарастает к краям рассматриваемого интервала.

Другая причина погрешностей обусловлена тем, что спектры реальных финитных сигна­лов не обращаются в нуль за пределами граничной частоты. Хотя основная энергия сигналов расположена на частотах от нуля до Fв, некоторая часть приходится на частоты выше гранич­ной. Относительная среднеквадратическая погрешность определяется соотношением

(6.8)

где Е — полная энергия сигнала x(t), а DЕ — та часть энергии, которая оказывается за преде­лами полосы частот [0, Fв] и не учитывается при восстановлении сигнала. Таким образом, при заданной погрешности (6.8) можно определить необходимую граничную частоту Fв, a следовательно, и интервалы между отсчётами D = 1/2Fв. Детальное исследование показывает, что погрешности за счёт неучитываемой части спектра сигнала будут тем больше, чем мед­леннее убывает спектр за пределами граничной частоты.

Третьей причиной погрешностей являются неидеальные характеристики фильтра, фор­мирующего отсчётные функции. Колебания, имеющие форму отсчётной функции вида (6.2), можно получить на выходе идеального фильтра нижних частот (ФНЧ) с граничной частотой Fв при действии на его входе дельта-импульса d(t). АЧХ идеального ФНЧ равномерна (рис. 6.5)

Импульсная характеристика g(t) фильтра определяется обратным преобразованием Фурье от комплексного коэффициента передачи :

Для рассматриваемого случая идеального ФНЧ

(6.9)

Характеристики реальных фильтров K(f) и j(f) отличаются от идеальных (пунктирные кривые 2 на рис. 6.6), что приводит к отклонению реальной функции отсчё­тов от идеальной (кривая 2 на рис. 6.6) и, как следствие, к появлению дополнительных погрешностей восстановления функции x(t) по отсчётам.

 
 

 


Рис. 6.6. Импульсная характеристика: (1) для идеального ФНЧ, (2) для неидеального ФН

Рис. 6.4. Иллюстрация принципа восста- Рис. 6.5. АЧХ и ФЧХ фильтра,

новления непрерывной функции по ее формирующего отсчетные функ-

отсчетам ции: (1) идеального ФНЧ;

(2) неидеального ФНЧ

 

Схема работы и измерительная аппаратура

 

Исследуемое устройство (рис. 6.7) размещено на сменном блоке ТЕОРЕМА КОТЕЛЬНИКОВА и представляет собой дискретизатор (обозначенный на макете как перемножитель сигналов) и набор из трех фильтров - восстановителей с разными частотами среза. Источники исследуемых сигналов - s1, s2 и s3 находятся в блоке ИСТОЧНИКИ СИГНАЛОВ, а сами сигналы представляют собой суммы гармоник с частотами 2, 4 и 6 кГц. (При необходимости исследуемый сигнал может быть усложнен добавлением еще одного гармонического сигнала с частотой 1 кГц с помощью сумматора стенда).

 

Рис. 6.7.

 

Дискретизатор, формирующий отсчеты s(kDt) непрерывного сигнала s(t), выполняет функцию перемножителя этого сигнала на короткие импульсы напряжения дискретизации (uдискр). В данном случае дискретизатор выполнен по схеме аналогового коммутатора, пропускающего входной сигнал s(t) на выход в течение короткого времени существования импульсов дискретизации. Временной интервал между соседними отсчетами дискретизированного сигнала s(kDt) зависит от выбора частоты дискретизации fд:

Dt=1/fд.

Эта частота может изменяться дискретно при нажатии кнопки fд, при этом выбранное значение этой частоты индицируется светодиодом (fд=3,6,12,16,24 и 48 кГц). Все упомянутые выше частоты (частоты дискретизации и частоты гармоник исследуемых сигналов) жестко синхронизированы, что упрощает наблюдение процессов на осциллографе.

В качестве фильтров - восстановителей используются три активных ФНЧ третьего порядка с частотами среза 3, 6 и 12 кГц. Для снятия импульсных характеристик фильтров используется генератор коротких импульсов "d - функций" (гнезда d(t) в блоке ИСТОЧНИКИ СИГНАЛОВ).

В соответствии с теоремой Котельникова отсчеты, следующие через интервалы времени Dt=1/2FВ, где FВ - верхняя частота сигнала, могут быть преобразованы в исходный сигнал после прохождения через идеальный ФНЧ с частотой среза FСР = FВ. В работе используются реальные ФНЧ с достаточно крутыми спадами АЧХ после частоты среза. Поэтому на практике выбирают Dt несколько меньше (а иногда и в несколько раз меньше), чем требуется в теореме Котельникова с тем, чтобы реальный ФНЧ с АЧХ трапециевидной формы позволял выделить спектр исходного сигнала из спектра дискретизированного сигнала, что гарантирует отсутствие искажений при обратном преобразовании (восстановлении) сигнала.

В качестве измерительных приборов используются двухлучевой осциллограф и ПК, работающий в режиме анализатора спектра.

 

Амплитудный спектр сигнала

 

Временная диаграмма S3

 

Осциллограммы сигналов

 

 

При частоте дискретизации 12 кГц

Осциллограмма 1 фильтр

 

Осциллограмма 2 фильтр

 

Осциллограмма 3 фильтр

 

 

При корректированной частоте 16 кГц с 2 фильтром

III. Защита и охрана окружающей среды









Дата добавления: 2015-01-15; просмотров: 1622; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию, введите в поисковое поле ключевые слова и изучайте нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам понравился данный ресурс вы можете рассказать о нем друзьям. Сделать это можно через соц. кнопки выше.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2020 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.03 сек.