Основы теории подобия

Математической моделью, описывающей движение жидкости, являются система дифференциальных уравнений движения и условия однозначности. Получение решения с помощью математической модели возможно лишь для некоторых простейших случаев ламинарного движения. Поэтому для получения результата приходится прибегать к экспериментальным исследованиям, теоретической основой которых является теория гидродинамического подобия.

Как известно, подобными называются геометрические фигуры, для которых отношения любых сходственных линейных размеров равны постоянной величине c_l – константе геометрического подобия.

Понятие подобия может быть распространено и на другие явления; например, рассматривают подобие движения потоков жидкости или газа – кинематическое подобие; подобие сил, вызывающих движение,– динамическое подобие и т. д.

Подобие физических явлений более сложно, чем геометрическое, и, прежде чем перейти к его пояснению, целесообразно рассмотреть следующую классификацию физических явлений. Все явления можно разбить на классы и роды.

Под классом понимают совокупность явлений одной физической природы, описываемых тождественными дифференциальными уравнениями.

Понятие класса явлений весьма широко, в нем приходится выделять ряд явлений одного рода, между которыми обычно и устанавливают подобие.

Понятием род объединяется совокупность явлений одного класса с качественно одинаковыми условиями однозначности. Качественно одинаковыми называются такие условия однозначности, которые отличаются друг от друга только численными значениями переменных, составляющих эти условия.

Каждое индивидуальное явление внутри рода отличается от другого явления того же рода численными значениями условий однозначности.

Теория подобия утверждает, что индивидуальные явления внутри рода можно объединить в группы подобных явлений.

При подобии сложных процессов и явлений множители преобразования находятся между собой в определенных соотношениях. Такие соотношения между множителями преобразования, так же как и сами множители, являются безразмерными и представляют собой комплексы, составленные из величин, существенных для данного процесса. Называются они критериями, или числами подобия. Таким образом, критерием подобия называется безразмерный комплекс, составленный из величин, существенных для данного процесса. При этом нулевая размерность является основным свойством критерия подобия и может служить проверкой правильности его составления.

Критерии подобия принято называть именами ученых, плодотворно работавших в соответствующей области науки, и обозначать двумя начальными латинскими буквами их фамилий. Получают критерии подобия из аналитических зависимостей, описывающих данный процесс. Таким образом, математическое описание процесса, хотя бы в виде дифференциальных уравнений общего вида, является необходимой предпосылкой использования теории подобия.

Если получено частное решение задачи для одного из подобных явлений (например, путем численного интегрирования дифференциальных уравнений), то, зная величины критериев подобия, можно путем пересчета получить решения для целой группы явлений, подобных первому. Однако первое частное решение не обязательно получать расчетным путем: в тех случаях, когда интегрирование исходных дифференциальных уравнений затруднительно, необходимые закономерности можно установить экспериментально.

В этом и состоит основная идея теории подобия. Теория подобия на определенном этапе обращается к эксперименту, но дает возможность результаты единичного (физического или математического) эксперимента распространить на целую группу явлений, подобных данному. В теории подобия рассматриваются методы и приемы, позволяющие правильно провести эксперимент на так называемом модельном явлении, чтобы иметь возможность результаты эксперимента обобщить и представить в форме, удобной для расчета других явлений, подобных изученному. Теория подобия входит как составная часть в общую теорию планирования эксперимента.