Понятия экстремумов
Рассмотрим функцию z = f(x,y), которая определена в области D, и некоторую точку Р0(х0,у0) из этой области.
Определение 1.Точка Р0(х0,у0) называется точкой максимума функции z = f(x, y), а значение f (Р0) – максимумом (максимальным значением), если существует окрестность точки Р0(х0,у0), очки Р(х,у), выполняется неравенство
f(Р0) > f(P) . (1)
Определение 2.Точка Р0(х0,у0) называется точкой минимума функции z = f(x, y), а значение f(Р0) – минимумом (минимальным значением), если существует окрестность точки Р0(х0,у0), для всех точек Р(х,у) которой, отличных от точки Р0(х0,у0), выполняется неравенство
f(Р0) < f(P) (2)
Точки максимума и минимума функции z = f(x, y) называются экстремальными точками или экстремумами, а значения функции в этихточках экстремальными значениями.
Из неравенств (1) и (2) следует, что в точке экстремума Р0(х0,у0) полное приращение функции Δf(Р0) = f(P) – f(Р0) сохраняет определенный знак в некоторой окрестности этой точки, причем Δf(Р0) < 0, если Р0 – точка максимума, и Δf(Р0) > 0, если Р0 – точка минимума.
Отметим, что понятия экстремумов – локальное понятие. Если например, Р0 – точка максимума, то f(P0) является наибольшим значением в некоторой окрестности точки P0, но может не быть таковым во всей области D, т. е. вне указанной окрестности могут существовать точки, в которых значения функции будут больше, чем значение в точке P0. В связи с этим точки экстремумов часто называют точками локального экстремума.
Если неравенство (1) (или (2)) справедливо для всех точек области D, то говорят, что в точке Р0, функция достигает наибольшего (или наименьшего) значения в области D. Точки локального экстремума не следует смешивать с точками, в которых функция достигает наибольшего и наименьшего значения. Определения 1 и 2 фактически определяют точки экстремумов для функций любого конечного числа переменных.
Дата добавления: 2015-01-24; просмотров: 964;