Необходимые и достаточные условия существования экстремумов

Как и в случае функции одной переменной, возникает задача о нахожде­нии необходимых и достаточных условий существования экстремумов.

Сформулируем их для функций двух независимых переменных.

Пусть Р0(х0,у0) – точка локального экстремума для функции z = f(x, y). Зафиксируем значение одной переменной у = у0, тогда функция z = f(x, y0) является функцией одной переменной х, а х = х0 – ее точка экстремума. По необходимому признаку для функции одной переменной производная в этой точке равна нулю или не существует, т.е. fx′ (x0, y0) = 0 или не существует. Для функции z = f(x, y) это условие, очевидно, означает, что в точке экстремума частная производная по х равна нулю или не существует. Аналогичные рассуждения можно провести для другой переменной. Таким образом, получаем следующие необходимые условия существования экстремума.

Теорема 1(необходимые условия существования экстремума) Если функция z = f(x, y) в точке P₀ имеет экстремум, то в этой точке обе частные производные равны нулю (f_x′(P₀ ) = 0, f_y′(P₀ ) = 0) или, по крайней мере, одна из них не существует.

Теорема 1 имеет простой геометрический смысл. Касательная плоскость к поверхности z = f(x, y) в точке экстремума P0 параллельна плоскости x0y (z _x′(P₀) = 0, z _y′(P₀ ) = 0) или не существует.

Необходимые условия существования экстремума остаются справед­ливыми и для функций большего числа переменных. Точки, в которых все частные производные первого порядка функции z = f(P) равны нулю или хотя бы одна из них не существует, называются критическими точками. Если в критической точке фукнция дифференцируема, то все частные производные первого порядка в ней обращаются в нуль. Такую точку часто называют стационарной. Для отыскания стационарных точек функции z = f(x, y) нахо­дят частные производные первого порядка и решают систему уравнений

Согласно теореме 1 любая точка экстремума является критической точкой функции, но не всякая критическая точка является точка экстремума.

Ответ на вопрос, является ли стационарная точка точкой экстремума, дают достаточные условия существования экстремума, которые сформули­рованы ниже в виде теоремы 2.

Теорема 2(достаточные условия существования экстремума) Пусть функция z = f(x, y) в стационарной точке Р0 (х0, у0) имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно. Если А = f_x ′′(Р), B = f_xy ′′(Р), C = f_y ′′(Р) и Δ(Р) = АС - В², то возможны три случая:

1) при Δ(Р0) > 0 Р0 – точка экстремума, причем, в точке Р0 максимум, когда А < 0, и минимум, когда А > 0;

2) при Δ(Р0) < 0 Р0 не является точкой экстремума;

3) при Δ(Р0) = 0о характере стационарной точки заключения сделать нельзя, нужы дополнительные исследования.

Замечание.Приведенные условия эквивалентны следующим. Пусть Р0 –стационарная точка функции z = f(x, y), т. е. d f(Р0) = 0, тогда:

1) если d²f(Р0) < 0при dx² + dy²≠ 0, то f(Р0) –максимум функции f(x, y);

2) если d² f(Р0) > 0при dx² + dy²≠ 0, то f(Р0) –минимум функции f(x, y);

3) если d²f(Р0) меняет знак, то f(Р0) не является экстремумом.