Неявно заданные функции

Будем говорить, что функция z = f(x, y) неявно задана в некоторой области D переменных (x, y) соотношением

F(x, y, z) = 0, (14)

если она в области D обращает уравнение (14) в тождество, т. е.

F(x, y, f(x, y)) ≡ 0 . (15)

Если нам задано только соотношение (14), то возникает вопрос: при каких условиях оно определяет неявную функцию z = f(x, y), которая обладает теми или иными нужными свойствами (непрерывность, дифференцируемость). Ясно, что существование неявной функции, а также и ее свойства зависят от свойств функции F(x, y, z). Справедлива следующая

Теорема 5.Пусть фнкция F(x, y, z) и ее частные производные F′x, F′у, F′z непрерывны в некоторой окрестности точки Р0(х0, у0, z0). Если F(x0, y0, z0) = 0, а F ′z (x0, y0, z0) ≠ 0, то существует окрестность точки (x0, y0), где уравнение F(x0, y0, z0) = 0определяет единственную непрерывную и дифференцируемую функцию z = f(x, y) такую, что f(x₀, y₀) = z₀ и F(x, y, f(x, y)) º 0.

Если функци F(x, y, z) удовлетворяет теореме 5, то формулы частных производных неявной функции имеют вид:

Или в общем случае, когда уравнение F(x, y, ..., v, u) = 0определяет u как функцию от переменных x, y, ..., v , cправедли формулы: