Дифференциальное исчисление функций многих переменных
2.1. Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений. Если известны площади сечений тела плоскостями, перпендикулярными оси OX, т. е., зная х, мы можем вычислить площадь сечения S = S (x). Тогда объем тела в предположении, что S(x) − интегрируемая функция.
2.2. Вычисление объема тела вращения:
а) если тело образовано вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), осью OX и двумя прямыми x = a и x = b(a < b) вокруг оси OX, то объем тела
б) если тело образовано вращением фигуры, ограниченной кривой
x = j(y) , прямыми y=c, y=d (c<d) и осью OY, вокруг оси OY, то его объем
в) если тело образовано вращением вокруг оси OY фигуры, ограниченной линией y = f (x), прямыми x = a, x = b (0 ≤ a ≤ b) и осью OX, то его объем можно вычислить по формуле
П р и м е р. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций y = 2x − x2 и y = 2 − x вокруг оси OX.
Решение. Найдем точки пересечения параболы y = 2x − x2 и прямой y = 2 − x . Решим систему:
Получим две точки пересечения: х1 = 1, у1 = 1; х2 = 2, у2 = 0. Сделаем чертеж (рис. 19).
П р и м е р. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:
; z = 0; z = 3.
Решение.
− однополостной гиперболоид. При пересечении его плоскостями z = h в сечении получаем эллипсы
(рис. 20) с полуосями
Как известно, площадь эллипса S =πab, тогда S(h) = 2π(h2 +1) 0 ≤ h ≤ 3
Дифференциальное исчисление функций многих переменных
Дата добавления: 2015-01-24; просмотров: 1226;