Определенный интеграл с переменным верхним пределом.

Формула Ньютона− Лейбница

До сих пор мы рассматривали определенный интеграл с постоянными пределами интегрирования a и b. Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b]. Если x ∈ [a,b], то функция f(x) также интегрируема на любом отрезке [a, x]. Если изменять верхний предел, не выходя из отрезка [a, b], то величина интеграла будет изменяться, т. е. интеграл

с постоянным нижним пределом a и переменным верхним пределом x есть функция верхнего предела. Обозначим эту функцию Ф(x):

Замечание. Для удобства переменная интегрирования здесь обозначена буквой t, так как буквой x обозначен верхний предел интегрирования. Интег­рал (8) называется интегралом с переменным верхним пределом.

Сформулируем основную теорему дифференциального и интегрального исчисления, устанавливающую связь между производной и интегралом.

Теорема 3.Производная интеграла от непрерывной функции по пере­мен­ному верхнему пределу существует и равна значению подынтегральной функции в точке, равной верхнему пределу, т. е.

Эта теорема утверждает, что любая непрерывная функция на отрезке [a, b] имеет на нем первообразную, причем этой первообразной является функция Ф(x), а так как всякая другая первообразная функции f(x) может отличаться от данной Ф(x) лишь на постоянную, то устанавливается связь между неопределенным и определенным интегралом

Теорема 4.Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то

, (10)

где F(x) − некоторая первообразная функции f(x).

Формула (10) называется формулой Ньютона − Лейбница.Формулу Ньютона − Лейбница можно переписать как

где

Вывод. Определенный интеграл от непрерывной функции f(x) равен разности значений любой первообразной для верхнего и нижнего преде­лов интегрирования.

Формула Ньютона − Лейбница открывает широкие возможности для вы­числения определенных интегралов, так как задача сводится к задаче вы­чис­ления неопределенных интегралов.

Если считать переменным нижний предел интегрирования, то пользуясь формулой Ньютона − Лейбница, получим

Теорема 5.Если f(x) − непрерывная, φ(x), ψ(x) − дифференцируемые функции, то производная от интеграла по переменной x

П р и м е р . Найти производную по x от интеграла

Решение. Здесь

φ΄(x) = 2x,

Пользуясь формулой (12), получим