Основные методы интегрирования

 

Существует три основных метода интегрирования.

1. Непосредственное интегрирование − вычисление интегралов с по­мощью таблицы интегралов и основных свойств неопределенных интегралов.

 

П р и м е р 3. Вычислить интеграл: ∫tg 2 xdx.

Решение:

 

 

2. Метод подстановки. Во многих случаях введение новой переменной интегрирования позволяет свести вычисление данного интеграла к нахож­де­нию табличного. Этот метод еще называют методом замены переменной.

Теорема 3.Пусть функция x = φ(t) определена, непрерывна и диффе­ренцируема на некотором промежутке Т и пусть Х – множество значений этой функции, на нем, т. е. на Т определена сложная функция f(φ(t)). Тогда если ∫f(x)dx = F(x) +C , то

f(x)dx =∫f(φ(t)) φ(t)dt. (1)

 

 

Формула (1) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Замечание. После вычисления интеграла ∫f(φ(t)) φ(t)dt нужно пе­рей­ти назад к переменной х.

 

П р и м е р 4. Найти интеграл: ∫cos3x sinxdx.

Решение:

а) Заменим sinxdx на (−d cos x), т. е. внесем функцию cos x под знак диф­ференциала. Получим

 

 

3. Метод интегрирования по частям

Теорема 4.Пусть функции u(x) и v(x) определены и дифференцируе­мы на некотором промежутке Х и пусть u(x)v(x) имеет первообразную на этом промежутке, т. е. существует интеграл∫u′(x)v(x)dx. Тогда на этом промежут­ке имеет первообразную и функция u(x)v(x) и справедлива формула

u(x)v′(x)dx = u(x)v(x) −∫v(x)u′(x)dx (2)

или

udv = uv −∫vdu . (2′)

 

Формулы (2) и (2′) называются формулами интегрирования по частям в неопределенном интеграле.

Методом интегрирования по частям вычисляются интегралы от следую­щих функций: P(x)arcsin(ax), P(x)arccos(ax), P(x)arctg(ax), P(x)arcctg(ax), P(x)ln x, P(x)ekx, P(x)sin kx, P(x)cos kx, здесь P(x) – многочлен; eax cosbx, eax sin bx.

Конечно, эти функции не исчерпывают всех интегралов, которые вычи­сляются с помощью метода интегрирования по частям.

 

П р и м е р 6. Найти интеграл: ∫arctg3xdx.

Решение. Положим u = arctg3x; dv = dx. Тогда

По формуле (2) имеем

 

 








Дата добавления: 2015-01-24; просмотров: 1480;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.004 сек.