Определение определенного интеграла

Рассмотрим криволинейную трапецию аАВb (рис. 1), т. е. фигу­ру, ограниченную сверху графиком непрерывной функции y = f (x) , ( f (x) ≥ 0), слева и справа − отрезками аА и bВ прямых х = а, х = в, снизу − осью Оx. Разобьем отрезок точками

a = x₀ < x₁ < x₂ < …<x_i−1 < x_i < … < x_n−1 < x_n = b

на n элементарных отрезков [х_i−1, х_i] (i = 1, 2, …, n), длины которых обозначим через Δxi = x_i – x_i-1. Прямыми x = xi (i = 1, 2, …, n) криволинейную трапецию aABb разобьем на n элементарных трапеций. В каждом из элементарных отрез­ков [x_i−1, x_i] выберем произвольную точку ξ_i∈[x_i−1, x_i] и вычислим f(ξ_i ). Произведение f( ξ_i )Δx_i выражает площадь прямоугольника с основанием Δx_i и высотой f(ξ_i ), и эта площадь приближенно равна площади ΔS_i i-й элемен­тарной трапеции ΔSi ≈ f(ξ_i i)Δxi, а площадь S всей трапеции aABb равна приближенно

Сумму

называют интегральной для функции f(x) на отрезке [a, b]. Очевидно, интег­раль­ная сумма для функции f(x) и отрезка [a, b] зависит от способа разбиения отрезка [a, b] и выбора точек ξ_i, т. е.

Рис. 1

Предел интегральной суммы (при условии, что длина наибольшего отрезка Δx_i стремится к нулю) примем за площадь SaABb криволинейной трапеции:

Определение 1.Пусть на отрезке [a, b] задана функция f(x). Отрезок [a, b] точками a = x₀ < x₁ < x₂ < …< x_{n − 1} < b = x_n разобьем на n элементарных отрезков [x_i−1, x_i] (i = 1, 2, …, n) длины Δx_i = x_i − x_i−1, в каждом из этих отрезков [x_i−1, x_i] возьмем произвольную точку ξ_i и составим сумму

называемую интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a, b]. Если существует конечный предел последовательности интегральных сумм, при условии, что длина наибольшего Δx_i из элементарных отрезков стремится к нулю (n → ∞), и предел не зависит ни от способа разбиения отрезка [a, b], ни от выбора точек ξi, то этот предел называется определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a, b] и обозначается

Здесь f(x) называется подынтегральной функцией, x − переменной интегри­рования, a и b − нижним и верхним пределами интегрирования.

Поэтому можно сформулировать понятие определенного интеграла так: число I называется определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a, b], если для любого ξ> 0существует δ> 0такое, что при maxΔx_i < δ (т. е. отрезок [a, b] разбит на части Δx_i < δ) независимо от выбора точек ξ_i и способа разбиения выполняется неравенство

.

Из всего сказанного следует, что если f(x) > 0на отрезке [a, b], то площадь S криволинейной трапеции aABb (рис. 1)

Функция, для которой существует предел (1) называется интегрируе­мой на отрезке [a, b].

Очевидно, если функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b], то она ограничена на этом отрезке. В самом деле, если f(x) не ограничена на отрезке [a, b], то она не ограничена на некотором элементарном отрезке [x_i−1, x_i]. За счет выбора точки ξ_i интегральную сумму можно сделать сколько угодно большой, а такая интегральная сумма не имеет конечного предела.

Можно показать, что обратное утверждение не верно: существуют огра­ни­ченные функции, не являющиеся интегрируемыми.

Сформулируем без доказательства следующие утверждения:

1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она и интегрируема на этом отрезке.

2. Если функция f(x) имеет на отрезке [a, b] конечное число точек разры­ва первого рода, то она интегрируема на [a, b].