Интегральный признак Коши.
Дан ряд с положительными членами , что ( ) и функция f(x) – положительная и убывающая, связанная с рядом равенством f(n)= . Тогда несобственный интеграл и сходится и расходится одновременно.
Доказательство:
f(n)=Un
n
S ступенчатой фигуры над рядом (f(x))
- n частичная сумма ряда.
S ступенчатой фигуры под графиком функции f(x)
- n+1 частичная сумма ряда.
очевидно неравенство
Пусть несобственный интеграл сходится
Из левой части <числа - ограничена сверху числом - сходится.
Пусть расходится из правой части (*) неограничен ряд расходится.
Конец доказательства.
Докажем, с помощью интегрального признака Коши, что обобщенно-гармонический ряд:
свяжем с эти рядом несобственный интеграл
(доказано в несобственном интеграле) исходный несобственный интеграл сходится или расходится одновременно.
Примеры:
1)
2)
Дата добавления: 2015-01-09; просмотров: 781;