Радикальный признак Коши.
Дан ряд с положительными членами и
Если - сходиться
Если - расходиться
Если - вопрос о сходимости не решен
Доказательство:
по определению , начиная с которого
1) Пусть С<1 выберем настолько малым, чтобы , тогда из правой части < , ряд , где q<1 сходится как ряд из членов геометрической прогрессии, со знаменателем <1, тогда исходный ряд сходится по I признаку сравнения, т.к его члены меньше членов сходящегося ряда.
2) Пусть С>1 выберем настолько малым, чтобы >1 из левой части > ; (q>1) расходится, как ряд из членов геометрической прогрессии, расходится по I признаку сравнения, т.к его члены больше членов сходящегося ряда.
3)С=1
Возьмем 2 обобщенно гармонических ряда – расходится (p=1) и -сходится (p=2>1) и покажем, что С=1.
Таким образом, при С=1 ряд может как сходится так и расходится.
Конец доказательства.
Примеры:
1)
2)
3)
Дата добавления: 2015-01-09; просмотров: 758;