Й признак сравнения

Дано 2 ряда с положительными членами (1) и (2) и начиная с некоторого номера N выполняется неравенство , тогда если (2) сходится то и (1) сходится. Если (1) расходится то и (2) тоже расходится, (ряд меньший сходящегося тоже сходится, ряд больший расходящегося тоже расходится).

Доказательство: Обозначим через - n – частичная сумма 1 ряда и - n – частичная сумма 2 ряда.

Т.к . Пусть 2 ряд сходится, тогда , причём ограничена сверху числом (1) сходится.

Пусть 1 ряд расходится , т.к расходится.

Конец доказательство.

Замечание:при доказательстве этого признака мы считали, что неравенство выполняется с 1 номера. Этот факт не влияет на сходимость, т.к по свойству рядов отбрасывание n – первых членов ряда на сходимость ряда не влияет.

Для сравнения необходим стандартный набор рядов, о сходимости всё известно. К таким рядам относятся:

Ряды для сравнения:
Ряды членов геометрической прогрессии:	Обобщенно гармонический ряд: (строгое доказательство будет проведено после интегрального признака сходимости)

Примеры:

1)

2)

3)

II признак сравнения (предельный)

Дано 2 ряда с положительными членами (1) и (2) и - число (1) и (2) сходятся и расходятся одновременно.

Доказательство:

- число по определению предела последовательности:

с которого

Пусть (2) сходится , тогда сходится и

Из правой части следует, что (1) ряд меньше сходящегося ряда по 1 признаку сравнения (1) сходится

Пусть (2) расходится выберем настолько малым, чтобы оставалось >0, для знакоположительности ряда - расходится. Из левой части (*) (1) ряд>ряда расходящегося по I признаку сравнения (1) ряд расходится.

Конец доказательства.

Примеры:

1)

2)

3)