Признак сходимости Даламбера

Дан ряд с положительными членами и

Если - сходиться

Если - расходиться

Если - вопрос о сходимости не решен.

Доказательство:

, начиная с которого

1) Пусть D<1 выберем настолько малым, чтобы

обозначим

рассмотрим правую часть

Рассмотрим ряд из членов геометрической прогрессии , т.к. ряд q<1 этот ряд сходится.

Т.к. исходный ряд меньше сходящегося ряда из членов меньшего ряда, то исходный ряд сходится по I признаку сравнения.

2) Пусть D>1 выберем настолько малым, чтобы >1 <(D- )

из левой части >

следовательно, члены ряда растут не стремится к 0 , ряд расходится по достаточному признаку расходимости.

3) D=1

Возьмем 2 обобщенно гармонических ряда – расходится и - сходится.

Для D=

Для D=

При D=1 ряд может сходиться или расходиться и вопрос о сходимости ряда остается открытым.

Конец доказательства.

Примеры:

1)

2)

3)