Метод вариации постоянных.

Данный метод позволяет найти частное решение.

находим находим .

Находим

Билет № 16

3°. ЛОУ -го порядка с постоянными коэффициентами.

, .

,

(характеристический многочлен).

Пусть - все корни характеристического многочлена .

1-й случай ( различны):

Тогда - ФСР.

, .

Пусть

Если - действительны и являются ФСР.

Если ,

- корень ,

Следовательно - решения .

,

- линейно независимы

над линейно независимы над .

Билет № 17

3°. ЛОУ -го порядка с постоянными коэффициентами.

, .

,

(характеристический многочлен).

Пусть - все корни характеристического многочлена .

2-й случай (среди есть одинаковые):

Лемма 1:

Если - корень кратности характеристического многочлена , то

, линейно независимы над .

Доказательство:

{

}

Лемма доказана.

- различные среди корней характеристического многочлена с кратностями ,

Лемма 2:

Если , где - многочлены с комплексными коэффициентами.

.

Доказательство (проводим индукцией по ):

База

Шаг - л. справа.

Продифференцируем это равенство раз:

Теорема:

- ФСР .

Доказательство:

Пусть ,

,

Линейно независимо над линейно независимо над .

Билет № 18

4°. Линейные неоднородные уравнения - го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью.

, , .

,

, где , .

,

Теорема:

Если - корень кратности характеристического многочлена , то частное решение уравнения можно искать в виде , где , .

Доказательство:

Билет № 19