Линейная однородная система (ЛОС).

1.Если - решение ЛОС на и , то на .

2. Множество всех решений ЛОС является линейным пространством.

- решение ЛОС - решение

- решение - решение.

Коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность следуют из аналогичных свойств операций с - мерными векторами.

3. Теорема: Решения линейно зависимы тогда и только тогда, когда они линейно-зависимы хотя бы при одном значении .

Доказательство:

.

.

Рассмотрим .

4. Размерность пространства решений ЛОС равна числу уравнений в системе.

Рассмотрим линейно-независимые постоянные вектора .

.

По теореме о существовании и единственности существует решение ,

.

Эти решения линейно независимы согласно пункту 3.