Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения 1-го порядка.

Теорема.

Пусть функция непрерывна в прямоугольнике , причем в . Тогда на интервале , где , существует и единственно решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее условию .

Поставленная задача Коши эквивалентна решению интегрального уравнения.

Доказательство.

на .

. , на ,

.

Проинтегрируем это равенство на отрезке : .

Рассмотрим произвольный отрезок :

Рассмотрим метрическое пространство M, состоящее из непрерывных функций на отрезке и удовлетворяющих неравенству: на , M

M.

Рассмотрим произвольную фундаментальную последовательность - худ. из M.

, M

Рассмотрим на пространстве Mсжимающий оператор : M .

, M

M.

,

M,

Элемент является функцией, удовлетворяющей интегральному уравнению и следовательно исходной задаче Коши.

- непрерывна в

Билет № 6