Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения 1-го порядка.
Теорема.
Пусть функция
непрерывна в прямоугольнике
, причем
в
. Тогда на интервале
, где
, существует и единственно решение дифференциального уравнения
, удовлетворяющее условию
.
Поставленная задача Коши эквивалентна решению интегрального уравнения.
Доказательство.
на
.
.
,
на
,
.
Проинтегрируем это равенство на отрезке :
.
Рассмотрим произвольный отрезок :
Рассмотрим метрическое пространство M, состоящее из непрерывных функций на отрезке и удовлетворяющих неравенству:
на
, M
M.
Рассмотрим произвольную фундаментальную последовательность - худ. из M.
,
M
Рассмотрим на пространстве Mсжимающий оператор :
M
.
,
M
M.
,
M,
Элемент является функцией, удовлетворяющей интегральному уравнению и следовательно исходной задаче Коши.
- непрерывна в
Билет № 6
Дата добавления: 2015-01-15; просмотров: 819;