Определитель Вронского (Вронскиниан).

Опред.:Определителем Вронского вектор-функций называется определитель

Решения (ЛОС) образуют ФСР тогда и только тогда, когда (хотя бы в одной точке).

- ФСР , .

Билет № 11

5°. Линейные однородные дифференциальные уравнения -го порядка.

- ЛДУ

- линейный дифференциальный оператор -го порядка.

Если , то получаем линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ)

Если , то получаем линейное неоднородное дифференциальное уравнение

Сумма решений ОДУ , а также произведение решения на число снова является решением.

Уравнению можно поставить в соответствие линейную однородную систему:

Каждому решению уравнения можно однозначно сопоставить решение

ЛОС (1)

Соответствие (1) не нарушается при сложении решений и умножении решения на число. Оно также сохраняет линейную зависимость или независимость решений.

на

Свойства уравнения :

1. Если - решение уравнения на и , , то на .

2. Множество всех решений уравнения является линейным пространством размерности .

3. Решения уравнения линейно независимы тогда и только тогда, когда они линейно независимы хотя бы при одном значении .

ФСР называется любой базис пространства решений, то есть любые линейно независимых решений.

4. Теорема о структуре общего решения:

Если функции образуют ФСР, то функция является решением тогда и только тогда, когда , где .

- фундаментальная матрица.

Опред.:Определителем Вронского функций называется определитель

5. Решения уравнения образуют ФСР тогда и только тогда, когда

.

Замечание: для линейной независимости произвольных функций условие является достаточным, но не необходимым.

Пример:

на

ЛНУ, так как если

Билет №12