Рівняння теорії пружності

Для незмінних властивостей тіла рівняння теорії пружності включають рівняння руху (5.16), Коші (5.6) та узагальнений закон Гука (5.21). Для квазіпластичних процесів ( ) рівняння руху в скалярній формі мають вигляд

(5.33)

де a_x , a_y, a_z – проекції вектора прискорень об’ємних сил на відповідні координатні осі.

Системи рівнянь (5.6), (5.21) і (5.33) вміщують 15 рівнянь з 15-ма невідомими (6 складових тензора напружень – s_xx, s_yy , s_zz ,t_xy, t_xy, t_xy; 3 складових вектора переміщень – u_x, u_y, u_z та 6 складових тензора деформацій – e_xx, e_yy , e_zz ,g_xy, g_xy, g_xy), тобто є замкнутими. Розв’язок задач теорії пружності знаходять інтегруванням цих систем лінійних диференціальних рівнянь із відповідними граничними умовами, які бувають статичними (задані сили), кінематичними (задані переміщення), змішаними (задані сили і переміщення).

Виділяють пряму і обернену задачі теорії пружності. У прямій задачі вважають відомими усі об’ємні та поверхневі сили або переміщення на границі тіла. Потрібно визначити поле переміщень, деформацій та напружень в тілі. В оберненій задачі відомою є одна із трьох систем функцій напружень, переміщень, деформацій або їх комбінація. Необхідно визначити невідомі компоненти, в тому числі граничні умови.

На практиці пряма задача зустрічається частіше, ніж обернена, і є складнішою, що зумовлено складністю систем рівнянь (5.6), (5.21) і (5.33) та різноманітністю граничних умов. Обернена задача постає, в основному, при перевірці наближених розв’язків і в цьому розумінні не є проблематичною.

У випадку, коли вектор прискорень а об’ємних сил не залежить від координат, система рівнянь теорії пружності може бути представленою системою бігармонічних рівнянь:

в переміщеннях

або в напруженнях

де – операція Лапласа.

Плоска задача теорії пружності використовується у випадках, коли можна припущення про залежність сил, переміщень і деформацій тільки від двох координат. Для постійних компонент векторам прискорень об’ємних сил а_х та а_у розв’язок плоскої задачі в напруженнях зводиться до системи диференціальних рівнянь

(5.34)

Третє рівняння (5.34) називається умовою Моріса-Леві.

Розв’язок системи (5.34) можна суттєво спростити, якщо перейти від трьох невідомих функцій s_xx, s_yy, t_xy до однієї функції , що називається функцією напружень, або функцією Ейрі. Якщо існує така довільна функція , що задовольняє рівнянням

(5.35)

то вона буде розв’язком плоскої задачі в напруженнях при виконанні умови Моріса-Леві

. (5.36)

Отже, розв’язком плоскої задачі в напруженнях є бігармонічна функція , яка задовольняє рівнянню (5.36) та відповідним граничним умовам на контурі твердого тіла. Напружений стан у довільній точці тіла визначається за формулами (5.35).