Рівняння реології

Рівняння реології визначають зв’язок між компонентами тензора напружень та тензорів деформацій і швидкостей деформацій. Рівняння реології отримують, як правило, на основі дослідних даних. Параметри цих рівнянь або моделей визначають реологічні властивості.

Реологічна модель абсолютно пружного тіла ґрунтується на припущенні, що напруження в будь-якій точці суцільного середовища в довільний момент часу визначаються деформаціями в цій самій точці і в той же момент часу. Для малих деформацій зв’язок між компонентами напружень Т_s і деформацій Т_e можна вважати лінійним. Таке співвідношення задає реологічне рівняння абсолютно пружного тіла, яке для ізотропного матеріалу представляється узагальненим законом Гука:

(5.21)

де E, G – модуль пружності при розтягу (стисненні) та зсуву;

У термінах інваріантів тензорів напружень і деформацій закон Гука можна представити у вигляді

(5.22)

де – модуль об’ємної деформації.

m – коефіцієнт Пуассона.

У процесі руху між окремими частинками суцільного середовища виникають сили внутрішнього тертя, які залежать від швидкості зміни відстані між частинками, що характеризуються тензором швидкостей деформацій. На основі припущення про лінійний характер цієї залежності одержано реологічне рівняння в’язкого середовища, яке для ізотропної рідини описується у вигляді узагальненого закону Ньютона:

, (5.23)

де h – коефіцієнт внутрішнього тертя (в’язкість).

Реологічна модель ідеальної рідини характеризується відсутністю внутрішнього тертя як у стані спокою, так і в процесі її руху:

. (5.24)

З умови (5.24) випливає, що у кожній точці ідеальної рідини нормальні напруження дорівнюють гідростатичному тиску s у цій точці.

Для найпростішого (одновимірного) випадку при деформаціях зсуву рівняння реології визначають залежність між дотичними напруженнями зсуву t та деформацією зсуву g і (або) її градієнтом .

Рідини, реологічні моделі яких описуються рівнянням Ньютона, називаються ньютонівськими. У нафтопромисловій справі часто використовують технологічні рідини, реологічні моделі яких не відповідають закону Ньютона. Відповідно до класифікації А. Метцнера, виділяють такі групи реологічних рівнянь:

1 реологічно стаціонарних (ньютонівських і неньютонівських) рідин – ;

2 реологічно нестаціонарних рідин – ;

3 в’язкопружних рідин ;

4 реологічно складних рідин з властивостями, притаманними вищевказаним групам.

До неньютонівських рідин належать: аномально в’язка рідина Оствальда (5.2); в’язкопластична рідина Шведова – Бінгама (5.3); нелінійна в’язкопластична рідина Гершеля – Балклі

, (5.25)

Шульмана – Кессона

. (5.26)

та ін

До в’язкопружних належать рідини, реологічні моделі яких описуються рівнянням Максвелла

, (5.27)

Фойгта

, (5.28)

або їх узагальнення для рідин з пластичними властивостями

, (5.29)

. (5.30)

Реологічні моделі (5.27–5.30) описують явища релаксації напружень і повзучості.

Реологічні моделі другої і четвертої груп у нафтопромисловій справі майже не використовуються.