Рівняння неперервності

Це рівняння зв’язує густину з характеристиками руху суцільного середовища, що встановлюється на основі закону збереження маси (повна зміна маси у замкненому об’ємі дорівнює нулю)

,

де перша складова характеризує зміну маси в довільно вибраному об’ємі V, а друга – масу середовища, що притікає або відтікає через поверхню І за одиницю часу (v_n –проекція швидкості на нормаль до поверхні S).

У диференціальній формі рівняння неперервності має такий вигляд:

. (5.18)

Для твердих деформованих тіл у випадку, коли компоненти неперервного поля переміщень задані, за рівнянням Коші (5.6) можна визначити компоненти поля деформацій. Складніше з постановкою оберненої задачі – визначення переміщень за деформаціями. Не для кожного поля деформацій існує неперервне поле переміщень. Деформації, яким відповідає неперервне поле переміщень, називаються сумісними деформаціями. В іншому випадку деформації вважаються несумісними.

Необхідною умовою сумісності деформацій є їх відповідність геометричним рівнянням сумісності, які одержують безпосередньо з рівнянь Коші:

(5.19)

Ці рівняння забезпечують, по суті, суцільність деформованого твердого тіла і називаються також рівняннями суцільності, або неперервності.

Рівняння енергії

Це рівняння відображає закон збереження енергії для суцільного середовища і є наслідком фундаментального закону фізики – першого начала термодинаміки. У диференціальній формі рівняння енергії при відсутності джерел теплоти має вигляд

, (5.20)

де U – питома (віднесена до одиниці маси) внутрішня енергія суцільного середовища;

Т – температура;

l – коефіцієнт теплопровідності суцільного середовища.

Система рівнянь (5.16), (5.18), (5.20) представляє необхідні фундаментальні рівняння руху суцільного середовища