Плоской системы сходящихся сил (теорема Вариньона)

Момент равнодействующей плоской системы сходящихся сил относительно любой точки, лежащей в плоскости действия сил, равен алгебраической сумме моментов слагаемых сил относительно этой точки (рис. 2.11).

Рис. 2.11

Рассмотрим плоскую систему сил, сходящихся в точке А.

Выберем произвольную точку О и соединим ее с точкой А. Через точку О проведем ось Ох перпендикулярно ОА. Ось х направим так, чтобы проекция силы на эту ось и величина момента силы относительно точки О были одинакового знака. Спроецируем все силы на ось Ох: , ,…, .

Момент силы относительно точки О: и т.д. . Сложим сходящиеся силы. Равнодействующая сходящихся сил равна . Спроецируем векторное равенство на ось Ох: . Умножим левую и правую части полученного выражения на ОА, получим: , , . Следовательно, = .

Теорема доказана.

Эта теорема позволяет определить момент силы относительно центра в том случае, если определение плеча силы вызывает затруднение.

Пример. Определить момент силы , приложенной к раме, относительно точки А (рис. 2.12). Разложим силу на составляющие и и определим их моменты относительно выбранной точки.

Рис. 2.12

Согласно теореме Вариньона:

.