Оптико-механическая аналогия Гамильтона. 5 страница
и как следствие:
Волновую функцию в этом случае представляем в виде:
или
Амплитуда в этих выражениях слабо зависит от , то есть намного меньше, чем . Пример этому – сферическая волна при . Поэтому в дальнейших выкладках считаем константой. Проводим вычисления только для одномерной задачи:
Подставим уравнение волны в соответствующее волновое уравнение:
Вычисления дают:
Вторая производная в полученном выражении считается намного меньшей квадрата первой (локально почти плоские волны). Поэтому, соответственно:
По тем же причинам , так что – преобладающий член по сравнению с и таким образом:
Соответственно, волновое уравнение:
переходит в уравнение для фазы:
Но градиент фазы есть локальный волновой вектор:
С его длиной можно отождествить частоту:
и соответственно:
Сравнивая полученные выше выражения:
и
видим, что с точностью до знака, полностью совпадает с частотой . Пример плоской волны , позволяет уточнить эту связь:
Итак, лучи характеризуются функцией координат и времени – фазой , удовлетворяющей соотношениям:
где – касательный вектор луча. В то же время механические траектории также характеризуются функцией координат и времени – действием , причём как было выяснено уже ранее:
Эта поразительная аналогия терминов механики частиц и оптики лучей:
имеет глубокое физическое содержание. Действительно, из аналогии:
следует, что вариационному принципу механики должен отвечать свой вариационный принцип в геометрической оптике. Вид последнего легко показать, пользуясь соответствием:
Частота как аналог энергии на всём пути (луче) должна оставаться неизменной. Физически это обеспечивается стационарностью оптической среды – неизменностью во времени функции . Оптико-механическая аналогия наводит на мысль, а не является ли сама классическая механика (как аналог геометрической оптики) предельным случаем некоторой более общей теории.
В самом деле, аналогию:
можно углубить, введя коэффициент перехода между величинами справа и слева. Обозначив этот коэффициент , будем иметь соответственно:
то есть величина является универсальным коэффициентом перехода от волновых понятий к механическим. Очевидно, что имеет размерность действия, где – безразмерная величина. Видно, что требование для выполнения геометрической оптики означает, условием справедливости классической механики можно считать предел, при котором:
Рассуждения, приведшие к уравнениям:
а также пределу отношения:
стали возможны лишь с обнаружением экспериментальных фактов, не укладывающихся в рамки привычного классического описания. Многочисленные исследования привели к необходимости создания более общей теории, которую поначалу называли волновой механикой. Однако наиболее существенной стороной новой теории было квантование – существование для многих физических величин лишь дискретного ряда допустимых значений. Поэтому термин «волновая механика» со временем уступил место более современному – «квантовая механика».
Дата добавления: 2015-03-14; просмотров: 632;