Оптико-механическая аналогия Гамильтона. 3 страница

или после взятия производной функции, с последующим возведением в квадрат результатов дифференцирования, приходим к соответствующим промежуточным результатам для каждой из пространственных координат:

откуда:

и аналогично:

откуда:

а также:

откуда:

Таким образом, имеем:

Складывая между собой полученные выражения для каждой из компонент, будем иметь соответственно:

или в окончательном виде:

Учитывая, что:

имеем:

Выразим теперь кинетическую энергию через импульсы в сферической системе координат. С учётом уравнений Гамильтона:

выражение для кинетической энергии в сферической системе координат, очевидно, может быть переписано в виде:

Дифференцирование выражения для кинетической энергии по каждой из обобщённых координат, даёт выражения вида:

поскольку:

а также с учётом того, что:

будем для гамильтониана соответственно иметь выражение вида:

где

Таким образом, в ходе проделанных выкладок, приходим к выражениям для гамильтониана соответственно в полярной:

и сферической системах координат:

где

Рассмотрим плоское движение частицы по орбите в плоскости . Учитывая плоский характер орбиты, направим ось вдоль постоянного вектора :

При таком выборе декартовой системы координат, две компоненты вектора момента импульса частицы и очевидно будут равняться нулю. Тогда, вектор момента импульса (углового момента) можно записать как:

и движение совершается в плоскости, перпендикулярной оси . Из-за сохранения сектора , значение угла сохраняется:

следовательно:

и гамильтониан:

после подстановки соответствующих граничных условий, очевидно, может быть сведен к виду:

Таким образом, при рассмотрении плоского движения частицы мы в равной мере можем пользоваться как полярной, так и сферической системами координат.

Покажем теперь, что импульс на самом деле совпадает с - компонентой момента импульса . Для этого раскроем как векторное произведение:

Заметим, что вычисление скобок Пуассона приводит к соотношениям вида:

остальные же получают на основании правила циклической перестановки индексов, на основании которого можно легко получить аналитическое выражение для соответствующих проекций момента импульса:

Действительно, поскольку:

и как следствие:

то можно ограничиться только одной из проекций углового момента:

поскольку по определению:

тогда после подстановки данных значений переменных в выражение проекции момента импульса на ось , будем иметь соответственно:

раскрывая в полученном выражении скобки и учитывая, что:

будем иметь соответственно:

откуда следует, что:

преобразуя полученное выражение к виду:

будем иметь соответственно:

и таким образом:

Поэтому выражение для гамильтониана:

с учётом приведенных выше рассуждений можно будет представить далее к виду:

Поскольку для вектора:

оказывается справедливым:

имеем соответственно:

Именно такого рода гамильтонианом описывают движение электрона в атоме водорода. Найдём условия движения частицы по кругу. Так, например, если частица совершает устойчивое круговое движение в центральном силовом поле (поле постоянного потенциала), то очевидно её радиус будет являться постоянным:

отсюда следует, что первый член в выражении для энергии будет равен нулю:

В связи с этим удобно ввести так называемый эффективный потенциал:

Очевидно, частица будет совершать круговое движение , при условии, что производная по радиусу от эффективного потенциала равна нулю:

Учитывая выражение для потенциальной энергии:

имеем:

Выясним, как ведут себя разноименные взаимодействующие между собой заряды; т.е. задача будет сводиться к выяснению характера их взаимодействия. Для этого вычислим производную от по и приравняем её нулю. В результате получим выражение вида:

Поскольку левая часть в полученном выражении отрицательна, необходимо, чтобы произведение зарядов имело отрицательный знак:

что в свою очередь будет соответствовать притяжению разноимённо заряженных частиц. Необходимо также отметить, что выражение:

является условием равновесия двух сил: центробежного отталкивания (левая часть) и кулоновского притяжения (правая часть). Действительно, поскольку по определению:

тогда для всех допустимых значений , будем иметь соответственно:

из не отрицательности следует требование:

Данные неравенства задают допустимую область изменения . Так, неравенства:

показывают, что при область движения становится не ограниченной – движение инфинитное. В этом случае эффективная сила - направлена от центра, и частица уходит в бесконечность. Иными словами, инфинитному движению соответствует несвязанное состояние. При , движение совершается в ограниченной области пространства – финитное движение. В данном случае частица находится вблизи силового центра, а эффективная сила направлена к силовому центру, связанному с частицей .

3.1.4.2. Многочастичные колебательные системы.

Исследуем теперь колебательные движения системы с степенями свободы относительно некоторого устойчивого её равновесного положения. Это значит, что существуют значения обобщённых координат , когда силы отсутствуют:

и система покоится. Выведем систему из равновесия, придав каждому равновесному значению некоторую малую добавку :

Разложим потенциальную энергию в ряд Тейлора:

однако в силу равенства:

линейные по члены исчезают и при разложение:

сводится к уравнению:

здесь:

есть силовая постоянная, характеризующая упругость (сопротивление) системы при одновременном растяжении -той и -той обобщённых координат. В ряде литературных источников данную константу называют ещё силовой постоянной. Необходимо отметить, что уравнения движения Ньютона в форме:

требуют в общем случае вычисления силы . Для этого более подробно запишем полученное нами уже ранее выражение. Так, имеем соответственно:

и соответственно:

где учтено, что . Откуда становится очевидным, что уравнение:

переходит в линейную однородную систему дифференциальных уравнений:

избавимся теперь от масс переходом к «масс-взвешенным» координатам:

а именно:

Решение данной системы, обобщающей уравнение:

имеет гармонический вид:

или если колебательный процесс в многочастичной системе имеет косинусоидальную зависимость, тогда:

для каждой обобщённой координаты:

или

Числа определяют вклад -той обобщённой координаты в коллективное колебание всей системы частиц, совершаемое с единой частотой . Величины удобно нормировать как компоненты единичного вектора условием:

Тогда для данного колебания с частотой величина – максимально возможное смещение частицы. Рассмотренное согласованное гармоническое движение всех частиц называют собственным, или нормальным, колебанием системы. Числа определяют так называемую форму нормального колебания. Нахождение частот и форм разрешённых нормальных колебаний сводится к решению алгебраической задачи. Подставив выражение условия нормировки в систему уравнений вида:

будем иметь соответственно:

Сократив уравнение:

или

на ненулевую функцию , получим систему линейных однородных уравнений для , то есть имеем соответственно:

или в развёрнутом виде:

По теореме Кронекера – Капелли данная однородная система имеет нетривиальное решение только при нулевом значении детерминанта (определителя) системы:

Если раскрыть определитель , то по отношению к он окажется к многочленом -й степени уже за счёт произведения диагональных элементов:

Полученный многочлен называют вековым многочленом, а систему уравнений вида:

называют системой вековой, где уравнениями типа. Как известно, многочлен -й степени имеет ровно комплексных корней, т.е.

Действительность всех корней гарантируется симметричностью матрицы:

Однако положительность , а, следовательно, и возможность получения действительных частот является следствие постулированной устойчивости механической системы. Теперь уточним общее решение рассмотренной выше системы вековых уравнений:

Зная -ю частоту , находим из однородной системы вековых уравнений -й набор неизвестных величин , нормированных условием вида:

Более точно полученный набор величин следует обозначать через , явно указывая дополнительным индексом , для какой частоты он получен. Тогда в терминах введенных нами выше обозначений, общие решения для -й частоты будут иметь вид:

или

где и – амплитуда, и фаза -го нормального колебания. Значениями и можно распорядиться так, чтобы учесть любые начальные условия. Общее решение представляет собой комбинацию соответствующих частных решений:

Таким образом, оказывается линейной комбинацией «гармонических» координат :

или

Каждая из гармонических координат совершает независимое колебание со своей частотой и называется нормальной. В этих терминах выражение:

есть разложение произвольного колебания системы на нормальные колебания. Рассмотрим простейший пример колебаний системы с двумя степенями свободы:

Вековое уравнение этой системы:

Для симметричного случая, то есть когда , уравнение:

имеет простые решения вида:

Подставляя значения и в систему:

находим коэффициенты формы колебаний , для и , для и таким образом имеем соответственно:

где учтено требование нормировки:

В рамках рассматриваемой задачи частота , как видно отсюда, будет отвечать симметричному колебанию, а – антисимметричному. Это же видно и из разложения:

по нормальным координатам и данной задачи, то есть имеем:

Колебательные системы обнаруживают качественно новые черты, когда число частиц , связанных силами упругости, становится настолько большим, что в совокупности все частицы составляют уже непрерывную среду. Например, пусть дана цепочка одинаковых части, очень плотно заполняющих интервал оси . В первом приближении упругая сила пропорциональна изменению расстояния между частицами. Поэтому для U принимается выражение, аналогичное тому, что было получено нами для случая одночастичных колебательных систем. Так, разлагая потенциал U в ряд Тейлора, имеем соответственно:

Величину в данном выражении называют также равновесным расстоянием. При малых отклонениях от положения равновесия , где . Верхний индекс показывает, что величина вычислена в точке равновесия. Поскольку в случае одночастичных колебательных систем оказывается справедливым условие:

линейный по член в выражении:

исчезает и с большей степенью точности: