Теорема об изменении кинетической энергии механической системы

Теорема об изменении кинетической энергии относится к числу общих теорем динамики наряду с доказанными ранее теоремами об изменении количества движения и изменения момента количества движения.

Умножим каждое из дифференциальных уравнений движения точек механической системы (3.1) скалярно на скорость соответствующей точки и сложим все полученные уравнения:

или

Учитывая определения кинетической энергии механической системы (6.1) и мощности силы (6.6), получаем:

(6.7)

Доказана теорема об изменении кинетической энергии механической системы в дифференциальной форме:

производная по времени от кинетической энергии механической системы равна сумме мощностей всех приложенных к системе внешних и внутренних сил.

Умножая равенство (6.7) на и учитывая определение элементарной работы силы, получаем:

(6.8)

т.е.

дифференциал кинетической энергии механической системы равен сумме элементарных работ всех приложенных к системе внешних и внутренних сил.

Для практических целей удобна интегральная форма записи теоремы об изменении кинетической энергии, которая получается путем интегрирования равенства (6.8) на некотором перемещении системы:

(6.9)

т.е.

изменение кинетической энергии механической системы при некотором ее перемещении равно сумме работ всех приложенных к системе внешних и внутренних сил, совершенных на этом перемещении.

Если все приложенные к механической системе внешние и внутренние силы потенциальны и потенциальная энергия явно не зависит от времени (стационарные поля)

механическая система называется консервативной. Для консервативной механической системы равенство (6.8) принимает вид:

отсюда:

где

– полная механическая энергия системы;

– потенциальная энергия системы во внешнем силовом поле;

– потенциальная энергия системы во внутреннем силовом поле.

Таким образом,

если все внешние и все внутренние силы, действующие на механическую систему, потенциальны и не зависят явно от времени, то полная механическая энергия системы сохраняется (постоянна).

Закон сохранения полной механической энергии справедлив при условии, что все приложенные к механической системе силы потенциальны и стационарны. Рассмотрим, какое влияние оказывают на полную механическую энергию силы сопротивления. Будем считать, что на точки механической системы кроме потенциальных сил действуют силы сопротивления . В этом случае

Отсюда:

Сила сопротивления всегда направлена против скорости точки приложения этой силы, следовательно,

.

Таким образом,

Как видно, полная механическая энергия механической системы под действием сил сопротивления убывает (рассеивается, переходя в другие формы энергии, например, в тепловую).