Уравнение Дирака
Если уравнение Клейна –Гордона записать в виде (см (2.21))
, (2.23)
то уравнение Дирака, это ковариантное линейное уравнение вида
(2.24)
или с учетом операторов и
(2.25)
Умножая это уравнение слева на получаем
(2.26)
полагая , и окончательно получаем ковариантную форму уравнения Дирака
(2.27)
где - гамма-матрицы Дирака, .
, , ,
, используют также , (2.28)
Шпур (сумма диагональных элементов матрицы) нечетного числа –матриц равен нулю.
–матрицы антикоммутативны: , .
Покажите: , , . , , , .
Формально из уравнения Клейна-Гордона можно получить уравнение Дирака :
2ψ (2.29)
Уравнение называется ковариантным, если оно имеет ту же форму после преобразований координат и функций. Уравнение Клейна-Гордона является ковариантным относительно преобразования Лоренца, и описывает частицы с целым спином (0,1). Уравнение Дирака является ковариантным, и описывает заряженные частицы со спином ½ (электроны и позитроны). Оба уравнения являются принципиально различными.
Уравнение Дирака –релятивистки инвариантное волновое уравнение описывающее частицы со спином ½ (электроны, мюоны и нейтрино). Предложено Дираком в 1928 г. В действительности уравнение Дирака представляет собой систему из четырех однородных линейных дифференциальных уравнений первого порядка для четырех волновых функций (i=1,2,3,4) в совокупности описывающих состояние частицы. Например, нерелятивисткое уравнение Шредингера является уравнением для одной волновой функции .
Функция называется спинорной волновой функцией дирковской частицы.
с помощью матриц Дирака система уравнений для свободной частицы записывается в матричном виде
(2.30)
где , . По дважды повторяющемуся индексу ведется суммирование: , -обратная комптоновская длина волны частицы с массой .
Для матричных элементов волновой функции получаем четыре уравнения :
, (2.31)
Используя представление Паули для гамма матриц получаем систему уравнений Дирака:
(2.32)
Используя оператор 4-импульса , который является генератором трансляций уравнение Дирака можно переписать в виде
(2.33)
или
(2.34)
Уравнение для определения собственных функций и собственных значений оператора следующее
(2.35)
где собственные значения операторов .
Волновая функция свободной частицы с импульсом и энергией Е описывается плоской волной де Бройля:
(2.36)
С учетом (2.35) и (2.36) уравнение (2.34) может быть переписано в форме
(2.37)
где , .
При заданном значении импульса существуют решения, соответствующие двум знакам энергии
(2.38)
Физический смысл существования решений отвечающих отрицательной энергии, разъясняется существованием частиц и античастиц. Все уровни с <0 и образуют «море Дирака», возмущение приводит к покиданию частицы (электрона) уровня с отрицательной энергией и образованию незанятого уровня- «дырки», соответствующей античастице (позитрону).
Тензор момента количества движения является генератором вращений.
Дата добавления: 2014-12-18; просмотров: 996;