Как составить уравнение касательной в точке с абсциссой ?

Общая формула знакома нам еще со школы:

Значение нам уже дано в условии.

Теперь нужно вычислить, чему равна сама функция в точке :

На следующем этапе находим производную:

Находим производную в точке (задание, которое мы недавно рассмотрели):

Подставляем значения , и в формулу :

Таким образом, уравнение касательной:

Это «школьный» вид уравнения прямой с угловым коэффициентом. В высшей математике уравнение прямой принято записывать в так называемой общей форме , поэтому перепишем найденное уравнение касательной в соответствии с традицией:

Очевидно, что точка должна удовлетворять данному уравнению:

– верное равенство.

Следует отметить, что такая проверка является лишь частичной. Если мы неправильно вычислили производную в точке , то выполненная подстановка нам ничем не поможет.

Рассмотрим еще два примера.

Пример 5

Составить уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой

Уравнение касательной составим по формуле

1) Вычислим значение функции в точке :

2) Найдем производную. Дважды используем правило дифференцирования сложной функции:

3) Вычислим значение производной в точке :

4) Подставим значения , и в формулу :

Готово.

Выполним частичную проверку:
Подставим точку в найденное уравнение:

– верное равенство.

Пример 6

Составить уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой

Полное решение и образец оформления в конце урока.

В задаче на нахождение уравнения касательной очень важно ВНИМАТЕЛЬНО и аккуратно выполнить вычисления, привести уравнение прямой к общему виду.