Дифференциал функции одной переменной

Коль скоро я не объяснил (на данный момент), что такое производная функции, то не имеет смысла объяснять, и что такое дифференциал функции. В самой примитивной формулировке дифференциал – это «почти то же самое, что и производная».

Производная функции чаще всего обозначается через .

Дифференциал функции стандартно обозначается через (так и читается – «дэ игрек»)

Дифференциал функции одной переменной записывается в следующем виде:

Другой вариант записи:

Простейшая задача: Найти дифференциал функции

1) Первый этап. Найдем производную:

2) Второй этап. Запишем дифференциал:

Готово.

Дифференциал функции одной или нескольких переменных чаще всего используют дляприближенных вычислений.

Помимо других задач с дифференциалом время от времени встречается и «чистое» задание на нахождение дифференциала функции. Кроме того, как и для производной, для дифференциала существует понятие дифференциала в точке. И такие примеры мы тоже рассмотрим.

Пример 7

Найти дифференциал функции

Перед тем, как находить производную или дифференциал, всегда целесообразно посмотреть, а нельзя ли как-нибудь упростить функцию (или запись функции) ещё додифференцирования? Смотрим на наш пример. Во-первых, можно преобразовать корень:

(корень пятой степени относится именно к синусу).

Во-вторых, замечаем, что под синусом у нас дробь, которую, очевидно, предстоит дифференцировать. Формула дифференцирования дроби очень громоздка. Нельзя ли избавиться от дроби? В данном случае – можно, почленно разделим числитель на знаменатель:

Функция сложная. В ней два вложения: под степень вложен синус, а под синус вложено выражение . Найдем производную, используя правило дифференцирования сложной функции два раза:

Запишем дифференциал, при этом снова представим в первоначальном «красивом» виде:

Готово.

Когда производная представляет собой дробь, значок обычно «прилепляют» в самом конце числителя (можно и справа на уровне дробной черты).

Пример 8

Найти дифференциал функции

Это пример для самостоятельного решения.

Следующие два примера на нахождение дифференциала в точке.

Пример 9

Вычислить дифференциал функции в точке

Найдем производную:

Опять, производная вроде бы найдена. Но в эту бодягу еще предстоит подставлять число, поэтому результат максимально упрощаем:

Труды были не напрасны, записываем дифференциал:

Теперь вычислим дифференциал в точке :

В значок дифференциала единицу подставлять не нужно, он немного из другой оперы.

Ну и хорошим тоном в математике считается устранение иррациональности в знаменателе. Для этого домножим числитель и знаменатель на . Окончательно:

Пример 10

Вычислить дифференциал функции в точке . В ходе решения производную максимально упростить.

Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец оформления и ответ в конце урока.