Когда мы находим частную производную ,переменная считается константой.
3) Правила и таблица производных элементарных функций справедливы и применимы для любой переменной ( , либо какой-нибудь другой), по которой ведется дифференцирование.
Шаг второй. Находим частные производные второго порядка. Их четыре.
Обозначения:
или – вторая производная по «икс»
или – вторая производная по «игрек»
или – смешанная производная «икс по игрек»
или – смешанная производная «игрек по икс»
В понятии второй производной нет ничего сложного. Говоря простым языком, вторая производная – это производная от первой производной.
Для наглядности я перепишу уже найденные частные производные первого порядка:
Сначала найдем смешанные производные:
Как видите, всё просто: берем частную производную и дифференцируем ее еще раз, но в данном случае – уже по «игрек».
Аналогично:
Для практических примеров справедливо следующее равенство:
Таким образом, через смешанные производные второго порядка очень удобно проверить, а правильно ли мы нашли частные производные первого порядка.
Находим вторую производную по «икс».
Никаких изобретений, берем и дифференцируем её по «икс» еще раз:
Аналогично:
Следует отметить, что при нахождении , нужно проявить повышенное внимание, так как никаких чудесных равенств для проверки не существует.
Пример 2
Найти частные производные первого и второго порядка функции
Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока). Если возникли трудности с дифференцированием корней, рекомендую ознакомиться уроком Как найти производную?
При определенном опыте частные производные из примеров №№1,2 будут решаться Вами устно.
Переходим к более сложным примерам.
Пример 3
Найти частные производные первого порядка функции . Проверить, что . Записать полный дифференциал первого порядка .
Решение: Находим частные производные первого порядка:
Обратите внимание на подстрочный индекс: , рядом с «иксом» не возбраняется в скобках записывать, что – константа. Данная пометка может быть очень полезна для начинающих, чтобы легче было ориентироваться в решении.
Дальнейшие комментарии:
(1) Выносим все константы за знак производной. В данном случае и , а, значит, и их произведение считается постоянным числом.
(2) Не забываем, как правильно дифференцировать корни.
(1) Выносим все константы за знак производной, в данной случае константой является .
(2) Под штрихом у нас осталось произведение двух функций, следовательно, нужно использовать правило дифференцирования произведения .
(3) Не забываем, что – это сложная функция (хотя и простейшая из сложных). Используем соответствующее правило: .
Теперь находим смешанные производные второго порядка:
, значит, все вычисления выполнены верно.
Запишем полный дифференциал . В контексте рассматриваемого задания не имеет смысла рассказывать, что такое полный дифференциал функции двух переменных. Важно, что этот самый дифференциал очень часто требуется записать в практических задачах.
Полный дифференциал первого порядка функции двух переменных имеет вид:
В данном случае:
То есть, в формулу нужно просто подставить уже найденные частные производные первого порядка. Значки дифференциалов и в этой и похожих ситуациях по возможности лучше записывать в числителях:
Пример 4
Найти частные производные первого порядка функции . Проверить, что . Записать полный дифференциал первого порядка .
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и образец оформления задачи – в конце урока.
Рассмотрим серию примеров, включающих в себя сложные функции.
Пример 5
Найти частные производные первого порядка функции .
Записать полный дифференциал .
Решение:
(1) Применяем правило дифференцирования сложной функции . С урока Производная сложной функцииследует помнить очень важный момент: когда мы по таблице превращаем синус (внешнюю функцию) в косинус, то вложение (внутренняя функция) у нас не меняется.
(2) Здесь используем свойство корней: , выносим константу за знак производной, а корень представляем в нужном для дифференцирования виде.
Аналогично:
Запишем полный дифференциал первого порядка:
Пример 6
Найти частные производные первого порядка функции .
Записать полный дифференциал .
Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока). Полное решение не привожу, так как оно достаточно простое
Довольно часто все вышерассмотренные правила применяются в комбинации.
Пример 7
Найти частные производные первого порядка функции .
(1) Используем правило дифференцирования суммы
(2) Первое слагаемое в данном случае считается константой, поскольку в выражении нет ничего, зависящего от «икс» – только «игреки».
(Знаете, всегда приятно, когда дробь удается превратить в ноль).
Для второго слагаемого применяем правило дифференцирования произведения. Кстати, в этом смысле ничего бы не изменилось, если бы вместо была дана функция – важно, что здесь произведение двух функций, КАЖДАЯ из которых зависит от «икс», а поэтому, нужно использовать правило дифференцирования произведения. Для третьего слагаемого применяем правило дифференцирования сложной функции.
(1) В первом слагаемом и в числителе и в знаменателе содержится «игрек», следовательно, нужно использовать правило дифференцирования частного: . Второе слагаемое зависит ТОЛЬКО от «икс», значит, считается константой и превращается в ноль. Для третьего слагаемого используем правило дифференцирования сложной функции.
Для тех читателей, которые мужественно добрались почти до конца урока, расскажу старый мехматовский анекдот для разрядки:
Однажды в пространстве функций появилась злобная производная и как пошла всех дифференцировать. Все функции разбегаются кто куда, никому не хочется превращаться! И только одна функция никуда не убегает. Подходит к ней производная и спрашивает:
– А почему это ты от меня никуда не убегаешь?
– Ха. А мне всё равно, ведь я «е в степени икс», и ты со мной ничего не сделаешь!
На что злобная производная с коварной улыбкой отвечает:
– Вот здесь ты ошибаешься, я тебя продифференцирую по «игрек», так что быть тебе нулем.
(Кто понял анекдот, тот освоил производные, минимум, на «тройку»).
Пример 8
Найти частные производные первого порядка функции .
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и образец оформления задачи – в конце урока.
Ну вот почти и всё. Напоследок не могу не обрадовать любителей математики еще одним примером. Дело даже не в любителях, у всех разный уровень математической подготовки – встречаются люди (и не так уж редко), которые любят потягаться с заданиями посложнее. Хотя, последний на данном уроке пример не столько сложный, сколько громоздкий с точки зрения вычислений.
Пример 9
Дана функция двух переменных . Найти все частные производные первого и второго порядков.
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и образец оформления где-то рядом.
Ответы:
Пример 2:
, , ,
Пример 4: Ссылка для просмотра ниже.
Пример 6:
, ,
Дата добавления: 2014-11-29; просмотров: 2707;