Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела
Вращение твердого тела, как и любое другое движение, происходит в результате воздействия внешних сил. Для описания вращательного движения используем теорему об изменении кинетического момента относительно неподвижного центра, записанную в проекциях на ось вращения, которую примем за координатную ось (Рис.5.7):
(5.6)
Вычислим кинетический момент тела относительно оси вращения. Любая точка (частица) тела описывает окружность, плоскость которой перпендикулярна оси вращения, а радиус равен кратчайшему расстоянию от точки до оси . Учитывая формулу Эйлера (5.4), получаем момент количества движения точки относительно оси :
где – масса частицы с номером .
Суммируя моменты количеств движения точек и переходя к пределу при массе частицы стремящейся к нулю, получаем кинетический момент тела относительно его оси вращения:
(5.7)
Величина
(5.8)
Рис.5.7 |
называется моментом инерции тела относительно оси . Моменты инерции характеризуют распределение массы в теле и играют существенную роль в описании движения материальных тел. Подробнее вопрос о моментах инерции будет рассмотрен ниже. Сейчас заметим только, что в рассматриваемом случае так как во время вращения расстояния от точек тела до оси вращения остаются постоянными.
Подставляя результат (5.7) в равенство (5.6), получаем:
(5.9)
Уравнение (5.9) называется дифференциальным уравнением вращательного движения твердого тела. Оно позволяет, зная приложенные к телу внешние силы, определить закон изменения угловой скорости тела и, следовательно, закон вращения
Заметим, что в уравнение (5.9) не входят неизвестные реакции шарниров и , поскольку они не создают момента относительно оси вращения.
Дата добавления: 2014-12-18; просмотров: 1011;