Кинематика плоскопараллельного движения твердого тела

Движение тела называется плоскопараллельным, если расстояние от любой точки тела до некоторой неподвижной (основной) плоскости остается неизменным во все время движения

Проведем сечение тела параллельное основной плоскости (Рис.5.8). Через любую точку сечения проведем отрезок , перпендикулярный основной плоскости. Из определения плоскопараллельного движения следует, что отрезок движется поступательно.

Таким образом, движение сечения полностью определяет плоскопараллельное движение тела.

Рис. 5.8		Рис. 5.9

Рассмотрим движение сечения (плоской фигуры) в своей плоскости (Рис.5.9). Пусть любая точка плоской фигуры. Примем точку за начало системы координат , оси которой движутся поступательно по отношению к основной системе . По отношению к системе плоская фигура может только вращаться вокруг подвижной оси .

Чтобы задать положение плоской фигуры, а следовательно, и всего тела, необходимо задать положение точки – полюса, а также задать вращение плоской фигуры по отношению к системе .Таким образом, закон плоскопараллельного движения тела имеет вид:

Рис.5.10

т.е. при плоскопараллельном движении тело имеет три степени свободы.

Вычислим скорость любой точки тела.

. (5.10)

Вектор представляет собой скорость, полученную точкой при вращении плоской фигуры вокруг оси . Этот вектор направлен перпендикулярно отрезку (по касательной к окружности, которую описывает точка при вращении тела вокруг оси ), причем в сторону вращения тела (Рис.5.10). В соответствии с формулой Эйлера

Поскольку вектор перпендикулярен отрезку , из формулы (5.10) получаем полезное для практических целей утверждение, которое обычно называют теоремой о проекциях:

проекции скоростей концов отрезка, соединяющего две точки абсолютно твердого тела, на направление этого отрезка равны.

Как уже говорилось, за полюс можно принять любую точку плоской фигуры. В данный момент времени различные точки тела имеют разные скорости. За полюс имеет смысл принимать точку, скорость которой в данный момент времени равна нулю.

Точка, принадлежащая плоской фигуре или неизменно с ней связанная, скорость которой в данный момент времени равна нулю, называется мгновенным центром скоростей.

Рис.5.11

Примем за полюс мгновенный центр скоростей . В соответствии с формулой (6.14), получаем, что скорость любой точки плоской фигуры определяется так же, как если бы тело вращалось вокруг оси (Рис.5.11):

Рассмотрим способы определения положения мгновенного центра скоростей.

1. Пусть известны направления скоростей двух точек и плоской фигуры, причем вектор не параллелен вектору . Как видно из Рис.5.11, в этом случае мгновенный центр скоростей лежит в точке пересечения перпендикуляров, проведенных через точки и к векторам скоростей этих точек.

2. Пусть известны направления скоростей двух точек и , причем вектор

Рис.5.12

параллелен вектору , но отрезок не перпендикулярен скоростям (Рис.5.12). Проекции скоростей точек и на направление , в соответствии с теоремой о проекциях, равны между собой

и, следовательно, равны между собой векторы скоростей

.

Используя формулу

получаем

Таким образом, в данный момент времени угловая скорость тела равна нулю и скорости всех точек тела одинаковые. Имеем мгновенно поступательное распределение скоростей. Что касается положения мгновенного центра скоростей, то как видно из Рис.5.12, перпендикуляры к скоростям оказываются параллельными. Можно считать, что мгновенный центр скоростей находится в бесконечно удалённой точке.

3. Пусть скорости точек и параллельны между собой и перпендикулярны отрезку (Рис.5.13). В этом случае перпендикуляры к скоростям сливаются. Положение мгновенного центра скоростей на перпендикуляре можно определить из соображений пропорциональности модулей скоростей расстояниям от точек до мгновенного центра скоростей. Расстояние можно определить из системы уравнений

которую удобнее всего решить графически. Заметим, что в рассматриваемом случае для определения положения мгновенного центра скоростей кроме направления скоростей двух точек необходимо знать и их модули.

Рис. 5.13		Рис. 5.14

4. Особый интерес представляет случай качения колеса по неподвижной поверхности. Если колесо катится без проскальзывания, то мгновенный центр скоростей находится в точке касания колеса и опорной поверхности (Рис.5.14).