Производная параметрически заданной функции
Не напрягаемся, в этом параграфе тоже всё достаточно просто. Можно записать общую формулу параметрически заданной функции, но, для того, чтобы было понятно, я сразу запишу конкретный пример. В параметрической форме функция задается двумя уравнениями: 
. Частенько уравнения записывают не под фигурными скобками, а последовательно: 
, 
.
Переменная
называется параметром и может принимать значения от «минус бесконечности» до «плюс бесконечности». Рассмотрим, например, значение 
и подставим его в оба уравнения: 
. Или по человечески: «если икс равен четырем, то игрек равно единице». На координатной плоскости можно отметить точку 
, и эта точка будет соответствовать значению параметра . Аналогично можно найти точку для любого значения параметра «тэ». Как и для «обычной» функции, для американских индейцевпараметрически заданной функции все права тоже соблюдены: можно построить график, найти производные и т.д.
В простейших случаях есть возможность представить функцию в явном виде. Выразим из первого уравнения параметр: 
– и подставим его во второе уравнение: 
. В результате получена обыкновенная кубическая функция.
В более «тяжелых» случаях такой фокус не прокатывает. Но это не беда, потому-что для нахождения производной параметрической функции существует формула:
Находим производную от «игрека по переменной тэ»:
Все правила дифференцирования и таблица производных справедливы, естественно, и для буквы , таким образом, какой-то новизны в самом процессе нахождения производных нет. Просто мысленно замените в таблице все «иксы» на букву «тэ».
Находим производную от «икса по переменной тэ»:
Теперь только осталось подставить найденные производные в нашу формулу:
Готово. Производная, как и сама функция, тоже зависит от параметра .
Что касается обозначений, то в формуле вместо записи 
можно было просто записать 
без подстрочного индекса, поскольку это «обычная» производная «по икс». Но в литературе всегда встречается вариант , поэтому я не буду отклоняться от стандарта.
Пример 6
Найти производную от функции, заданной параметрически 
Используем формулу
В данном случае:
Таким образом:
Особенностью нахождения производной параметрической функции является тот факт, что на каждом шаге результат выгодно максимально упрощать. Так, в рассмотренном примере при нахождении 
я раскрыл скобки под корнем (хотя мог этого и не делать). Велик шанс, что при подстановке 
и в формулу многие вещи хорошо сократятся. Хотя встречаются, конечно, примеры и с корявыми ответами.
Пример 7
Найти производную от функции, заданной параметрически 
Это пример для самостоятельного решения.
В статье Простейшие типовые задачи с производной мы рассматривали примеры, в которых требовалось найти вторую производную функции. Для параметрически заданной функции тоже можно найти вторую производную, и находится она по следующей формуле: 
. Совершенно очевидно, что для того чтобы найти вторую производную, нужно сначала найти первую производную.
Пример 8
Найти первую и вторую производные от функции, заданной параметрически 
Сначала найдем первую производную.
Используем формулу
В данном случае:
Подставляет найденные производные в формулу. В целях упрощений используем тригонометрическую формулу 
:
Я заметил, что в задаче на нахождение производной параметрической функции довольно часто в целях упрощений приходится использовать тригонометрические формулы. Помните их или держите под рукой, и не пропускайте возможность упростить каждый промежуточный результат и ответы. Зачем? Сейчас нам предстоит взять производную от 
, и это явно лучше, чем находить производную от 
.
Найдем вторую производную.
Используем формулу: .
Посмотрим на нашу формулу. Знаменатель уже найден на предыдущем шаге. Осталось найти числитель – производную от первой производной по переменной «тэ»: 
Осталось воспользоваться формулой:
Готово.
Для закрепления материала предлагаю еще пару примеров для самостоятельного решения.
Пример 9
Найти и 
для функции, заданной параметрически 
Пример 10
Найти и для функции, заданной параметрически 
Надеюсь, это занятие было полезным, и Вы теперь с лёгкость сможете находить производные от функций, заданных неявно и от параметрических функций
Решения и ответы:
Пример 3: Решение:
Таким образом: 
Пример 5: Решение:
Пример 7: Решение:
Используем формулу
В данном случае:
Таким образом:
Пример 9: Решение: Найдем первую производную.
Используем формулу: . В данном случае:
Найдем вторую производную, используя формулу .
Пример 10: Решение:
Используем формулу: . В данном случае:
Таким образом:
Вторая производная:
Дата добавления: 2014-11-29; просмотров: 1911;