Основные теоремы о пределах. Даны координаты вершин пирамиды АВСД.

Даны координаты вершин пирамиды АВСД.

Найти:

1) векторы в системе орт и их модули;

2) угол между векторами ;

3) площадь грани АВС;

4) объем пирамиды АВСД;

5) уравнение ребра АВ;

6) уравнение плоскости АВС;

7) уравнение высоты, опущенной из точки Д на плоскость АВС.

1. А(1;2;1), В(-1;5;1), С(-1;2;7), D(1;5;9).

2. А(2;3;2), В(0;6;2), С(0;3;8), D(2;6;10).

3. А(0;3;2), В(-2;6;2), С(-2;3;8), D(0;6;10).

4. А(2;1;2), В(0;4;2), С(0;1;8), D(2;4;10).

5. А(2;3;0), В(0;6;0), С(0;3;6), D(2;6;8).

6. А(2;2;1), В(0;5;1), С(0;2;7), D(2;5;9).

7. А(1;3;1), В(-1;6;1), С(-1;3;7), D(1;6;9).

8. А(1;2;2), В(-1;5;2), С(-1;2;8), D(1;5;10).

9. А(2;3;1), В(0;6;1), С(0;3;7), D(2;6;9).

10. А(2;2;2), В(0;5;2), С(0;2;8), D(2;5;10).

11. А(1;3;2), В(-1;6;2), С(-1;3;8), D(1;6;10).

12. А(0;1;2), В(-2;4;2), С(-2;1;8), D(0;4;10).

13. А(0;3;0), В(-2;6;0), С(-2;3;6), D(0;6;8).

14. А(2;1;0), В(0;4;0), С(0;1;6), D(2;4;8).

15. А(0;2;1), В(-2;5;1), С(-2;2;7), D(0;5;9).

16. А(1;1;1), В(-1;4;1), С(-1;1;7), D(1;4;9).

17. А(1;2;0), В(-1;5;0), С(-1;2;6), D(1;5;8).

18. А(0;1;0), В(-2;4;0), С(-2;1;6), D(0;4;8).

19. А(0;1;1), В(-2;4;1), С(-2;1;7), D(0;5;9).

20. А(0;2;0), В(-2;5;0), С(-2;2;6), D(0;5;8).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Письменный Д. Т.

Конспект лекций по высшей математике : полный курс / Д. Т. Письменный . - 9-е изд. - М.: Айрис-Пресс, 2008. – 280с.- Ч. 1.

2. Пискунов Н. С.

Дифференциальное и интегральное исчисления: учеб. пособие для вузов / Н. С. Пискунов. - изд. стер.. - М.: Интеграл-Пресс, 2006. – 415 с. Т.1.

3. Шипачев В.С.

Курс высшей математики: учебник для вузов / В.С.Шипачев; Под редакцией А.Н. Тихонова. – 3-е изд., испр. – М.: Издательство Оникс, 2007 – 600с.: ил.

4. Берман Г. Н.

Сборник задач по курсу математического анализа: учеб. пособие / Г. Н. Берман. - 22-е изд., перераб. - СПб.: Профессия, 2006 - 432 с.

5. Лунгу К.Н.

Сборник задач по высшей математике: учеб. пособие / К.Н.Лунгу и др.- 7-е изд..- М.: Айрис Пресс, 2008.- 574 с.

6. Шипачев В. С.

Задачник по высшей математике: учеб. пособие для вузов / В. С. Шипачев. - 8-е изд., стер. - М.: Высш. шк., 2008. - 304 с.: ил.

7. Данко П. Е.

Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб. пособие / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова . - 6-е изд..-М.: ОНИКС.- 2008 .-368 с.- Ч.1.

Оглавление

Введение 4

1 Основные теоремы о пределах 5

1.1 Вопросы для самопроверки 7

2 Производная функции 8

2.1 Вопросы для самопроверки 10

3 Приложение производной к исследованию функции

и построению ее графика 11

3.1Вопросы для самопроверки 13

4 Неопределенный интеграл 13

4.1 Метод замены переменного 14

4.2 Интегрирование по частям 15

4.3 Интегрирование выражений, содержащих

квадратный трехчлен 17

4.4 Интегрирование рациональных дробей 20

4.5Вопросы для самопроверки 25

5. Индивидуальные задания для контрольной работы №2 25

Библиографический список 35

Введение

Целью настоящих методических указаний является помощь студентам – заочникам в выполнении контрольной работы №2.

Работа содержит 9 заданий по различным разделам дифференциального и интегрального исчислений.

Перед выполнением контрольной работы студент должен изучить соответствующие разделы рекомендуемой литературы [1] – [3] и воспользоваться решениями типовых примеров, содержащихся в настоящих методических указаниях. Большое количество образцов решенных задач дано в руководстве к решению задач [5]. Задачи для самостоятельного решения имеются как в представленных методических указаниях, так и в сборниках задач [4], [6].

Номер варианта по каждому заданию студент выбирает по формуле ,

где - номер варианта

-номер задания,

-предпоследняя цифра шифра студента,

-последняя цифра шифра.

Пример.

Пусть шифр студента 1235, тогда:

номер варианта первого задания: = ;

номер варианта второго задания: ;

номер варианта третьего задания: ;

номер варианта четвертого задания: ;

номер варианта пятого задания: ;

номер варианта шестого задания: …

Если получается число больше 20, то для определения варианта берут их разность. В нашем случае это будет 23-20=3. Следовательно, студент, имеющий шифр 1235, должен решать задачу №8 в первом задании, №11 – во втором, №14 – в третьем, №17 – в четвертом, №20 – в пятом, №3 – в шестом и т.д.

Основные теоремы о пределах

Пределом функции в точке «а» называется постоянная величина «b», если для любого положительного сколь угодно малого >0 найдется такое положительное число >0, что для всех выполняется неравенство , что символически записывается так:

При вычислении пределов функций будем пользоваться следующими теоремами:

1. Предел алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их пределов.

2. Предел произведения функций равен произведению их пределов.

3. Постоянный множитель можно вынести за знак предела.

4. Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя, если последний не равен нулю.

Кроме этих теорем широкое применение имеют два замечательных предела:

1. Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге равен единице.

, или . (1.1.1)

2. Предел выражения:

или . (1.1.2)

Рассмотрим применение указанных теорем в решении конкретных примеров.

Пример 13.

Вычислить предел

Решение:

а) Подставив предельное значение аргумента в заданное выражение, получим неопределенность вида , для раскрытия которой числитель и знаменатель дроби разложим на множители, найдя предварительно корни трехчленов.

б) Подстановка предельного значения х показывает, что имеем неопределенность вида , для раскрытия которой числитель и знаменатель дроби делим почленно на .При этом получим пределы вида и т. д., которые равны нулю.

Пример 14.

Вычислить предел .

Решение:

Нетрудно убедиться, что имеем неопределенность , которая в отличие от предыдущего примера, содержит иррациональность в числителе.

Чтобы освободиться от этой иррациональности, умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю. Применив затем формулу разности квадратов двух чисел и упростив числитель, можем сократить дробь.

Оставшаяся дробь не содержит нуль в знаменателе и дает возможность арифметического подсчета.