Тема 13. Случайная величина и ее числовые характеристики

Литература: [2], [8], [9], [10], [18], [22].

Одним из основных понятий в теории вероятностей является понятие случайной величины. Так принято называть переменную величину, которая принимает свои значения в зависимости от случая. Различают два вида случайных величин: дискретные и непрерывные. Случайные величины принято обозначать X, Y, Z.

Случайная величина Х называется непрерывной (дискретной), если она может принимать лишь конечное или счетное число значений. Дискретная случайная величина Х определена, если даны все ее возможные значения х₁, х₂, х₃,…х_n (число которых может быть как конечным, так и бесконечным) и соответствующие вероятности р₁, р₂, р₃,…р_n.

Закон распределения дискретной случайной величины Х обычно задается таблицей:

Первая строка состоит из возможных значений случайной величины Х, а во второй строке указаны вероятности этих значений. Сумма вероятностей, с которыми случайная величина Х принимает все свои значения, равна единице, то есть

р₁+р₂+ р₃+…+р_n=1.

Закон распределения дискретной случайной величины Х можно изобразить графически. Для этого в прямоугольной системе координат строят точки М₁(х₁,р₁), М₂(х₂,р₂), М₃(х₃,р₃),…М_n(x_n,p_n) и соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения случайной величины Х.

Пример.Дискретная величина Х задана следующим законом распределения:

Требуется вычислить: а) математическое ожидание М(Х), б) дисперсию D(X), в) среднее квадратическое отклонение σ.

Решение.а) Математическое ожидание М(Х), дискретной случайной величины Х называется сумма попарных произведений всех возможных значений случайной величины на соответствующие вероятности этих возможных значений. Если дискретная случайная величина Х задана с помощью таблицы (1), то математическое ожидание М(Х) вычисляется по формуле

М(Х)=х₁∙р₁+х₂∙р₂+х₃∙р₃+…+х_n∙p_n. (2)

Математическое ожидание М(Х) называют также средним значением случайной величины Х. Применяя (2), получим:

М(Х)=48∙0,2+53∙0,4+57∙0,3 +61∙0,1=54.

б) Если М(Х) есть математическое ожидание случайной величины Х, то разность Х-М(Х) называется отклонением случайной величины Х от среднего значения. Эта разность характеризует рассеяние случайной величины.

Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины Х называется математическое ожидание (среднее значение) квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания. Таким образом, по самому определению имеем:

D(X)=M[X-M(X)]². (3)

Вычислим все возможные значения квадрата отклонения.

[x₁-M(X)]²=(48-54)²=36

[x₂-M(X)]²=(53-54)²=1

[x₃-M(X)]²=(57-54)²=9

[x₄-M(X)]²=(61-54)²=49

Чтобы вычислить дисперсию D(X), составим закон распределения квадрата отклонения и затем применим формулу (2).

D(X)= 36∙0,2+1∙0,4+9∙0,3 +49∙0,1=15,2.

Следует отметить, что для вычисления дисперсии часто используют следующее свойство: дисперсия D(X) равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания, то есть

D(X)-M(X²)-[M(X)]². (4)

Чтобы вычислить дисперсию по формуле (4), составим закон распределения случайной величины Х²:

Теперь найдем математическое ожидание М(Х²).

М(Х²)= (48)²∙0,2+(53)²∙0,4+(57)²∙0,3 +(61)²∙0,1=

=460,8+1123,6+974,7+372,1=2931,2.

Применяя (4), получим:

D(X)=2931,2-(54)²=2931,2-2916=15,2.

Как видно, мы получили такой же результат.

в) Размерность дисперсии равна квадрату размерности случайной величины. Поэтому для характеристики рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения более удобно рассматривать величину, которая равна арифметическому значению корня квадратного из дисперсии, то есть . Эту величину называют средним квадратическим отклонением случайной величины Х и обозначают через σ. Таким образом

σ= . (5)

Применяя (5), имеем: σ= .

Пример.Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Математическое ожидание М(Х)=5; дисперсия D(X)=0,64. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение в интервале (4;7).

Решение.Известно, что если случайная величина Х задана дифференциальной функцией f(x), то вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (α,β), вычисляется по формуле

. (1)

Если величина Х распределена по нормальному закону, то дифференциальная функция

,

где а=М(Х) и σ= . В этом случае получаем из (1)

. (2)

Формулу (2) можно преобразовать, используя функцию Лапласа.

Сделаем подстановку. Пусть . Тогда или dx=σ∙dt.

Следовательно , где t₁ и t₂ соответствующие пределы для переменной t.

Сократив на σ, будем иметь

Из введенной подстановки следует, что и .

Таким образом,

(3)

По условию задачи имеем: а=5; σ= =0,8; α=4; β=7. Подставив эти данные в (3), получим:

=Ф(2,5)-Ф(-1,25)=

=Ф(2,5)+Ф(1,25)=0,4938+0,3944=0,8882.

Пример.Считается, что отклонение длины изготавливаемых деталей от стандарта является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Стандартная длина (математическое ожидание) а=40 см, среднее квадратическое отклонение σ=0,4 см. Найти вероятность того, что отклонение длины от стандартной составит по абсолютной величине не более 0,6 см.

Решение.Если Х – длина детали, то по условию задачи эта величина должна быть в интервале (а-δ,а+δ), где а=40 и δ=0,6.

Положив в формулу (3) α= а-δ и β= а+δ, получим

Итак,

. (4)

Подставив в (4) имеющиеся данные, получим:

Следовательно, вероятность того, что изготавливаемые детали по длине будут в пределах от 39,4 до 40,6 см, составляет 0,8664.

Пример.Диаметр деталей, изготавливаемых заводом, является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Стандартная длина диаметра а=2,5 см, среднее квадратическое отклонение σ=0,01. В каких границах можно практически гарантировать длину диаметра этой детали, если за достоверное принимается событие, вероятность которого равна 0,9973?

Решение.По условию задачи имеем:

а=2,5; σ=0,01; .

Применяя формулу (4), получаем равенство:

или .

По таблице 2 находим, что такое значение функция Лапласа имеет при х=3. Следовательно, ; откуда σ=0,03.

Таким образом, можно гарантировать, что длина диаметра будет изменяться в пределах от 2,47 до 2,53 см.

Вопросы для самопроверки

1. Какие случайные величины называются дискретными? Приведите примеры дискретных и непрерывных случайных величин.

2. Что называется законом распределения случайной величины?

3. Что называется математическим ожиданием дискретной случайной величины? Перечислите основные свойства математического ожидания.

4. Дайте определение дисперсии дискретной случайной величины и перечислите ее свойства.

5. Что называется средним квадратическим отклонением случайной величины?

6. Дайте определение интегральной функции распределения и перечислите ее свойства.

7. Дайте определение дифференциальной функции распределения и перечислите ее свойства.

8. Что называется математическим ожиданием непрерывной случайной величины? Как оно вычисляется?

9. Как определяется дисперсия непрерывной случайной величины и как она вычисляется?

10. Какое распределение случайной величины называется нормальным распределением? Какие параметры характеризуют нормальное распределение и как они влияют на форму кривой этого распределения?

11. Как вычисляется вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал?

12. Сформулируйте правило трех сигм.