Формула полной вероятности. Формула Бейеса.

Пусть требуется определить вероятность некоторого события А, которое может произойти вместе с одним из событий h₁,h₂,...,hn, образующих полную группу несовместных событий. Будем эти события называтьгипотезами.

В этом случае вероятность события А вычисляется как сумма произведений вероятности каждой гипотезы на условную вероятность события при этой гипотезе:

Р(А|Н_i).

Последнюю формулу называютформулой полной вероятности.

Пример. Имеются три одинаковых на вид урны; в первой урне 2 белых и 1 черный шар; во второй - 3 белых и 1 черный; в третьей - 2 белых и 2 черных шара. Некто выбирает наудачу одну из урн и вынимает из нее шар. Найти вероятность того, что этот шар - белый.

Решение. Рассмотрим 3 гипотезы:

Н₁ - выбор первой урны;

H₂ - выбор второй урны;

H₃ - выбор третьей урны;

и событие А - появление белого шара.

Так как гипотезы, по условию задачи, равновозможны, то Р(Н₁)=Р(Н₂)=Р(Н₃)= .

Условные вероятности события А при этих гипотезах соответственно равны р(а|н₁)= ; Р(А|Н₂)= ; Р(А|Н₃)= .

По формуле полной вероятности .

Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является формула Бейеса.

для .

Пример. На предприятии изготавливаются изделия определенного вида на трех поточных линиях. На первой линии производится 20% изделий от всего объема их производства, на второй - 30%, на третьей, - 50%. Каждая из линий характеризуется соответственно следующими процентами брака: 5%, 2%, 3%. Наугад взятое изделие оказалось бракованным, требуется определить вероятность того, что оно сделано на первой линии.

Решение. Обозначим Н₁, H₂, H₃ события, состоящие в том, что наугад взятое изделие произведено на первой, второй и третьей линиях.

Согласно условиям задачи Р(Н₁)=0,2; Р(Н₂)=0,3; Р(Н₃)=0,5.

Обозначим А - событие, состоящее в том, что наугад взятое изделие оказалось бракованным.

По условиям задачи Р(А|Н₁)=0,05; Р(А|Н₂)=0,02; Р(А|Н₃)=0,03.

По формуле Бейеса имеем

.