Признаки сходимости рядов с положительными членами

Признак Даламбера. Если для знакоположительного ряда существует

, (5)

то при ряд сходится, при ряд расходится; при вопрос о сходимости ряда остается открытым (в этом случае необходимо применять другие признаки сходимости рядов).

Признак Коши.Если существует

, (6)

то при ряд , , сходится; при – расходится, при ряд может сходиться или расходиться (требуется дополнительное исследование).

Интегральный признак Коши.Если функция непрерывная, положительная, не возрастающая для и при натуральных значениях аргумента x

, , ..., ,...,

то ряд и несобственный интеграл одновременно сходятся или расходятся.

Пример. Исследовать на сходимость ряд :

a) с помощью признака Даламбера;

b) используя интегральный признак.

Решение.

a) По условию, , , следовательно,

,

т.е. признак Даламбера не позволяет сделать заключения о сходимости или расходимости ряда.

b) Члены данного ряда положительны и убывают; в качестве функции возьмем функцию при ; эта функция непрерывна и убывает, причем . Так как

,

то данный ряд расходится.