Основные теоремы о пределах

В приводимых теоремах будем считать, что пределы , существуют.

Теорема 1. Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов

.

Теорема справедлива для алгебраический суммы любого конечного числа функций.

Следствие. Функция может иметь только один предел при х → х₀.

Теорема 2. Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:

.

Теорема справедлива для произведения любого конечного числа функций.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

.

Следствие 2. Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела: . В частности, .

Теорема 3. Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю

.

Пример 1. Вычислить .

Решение:

.

Пример 2. Вычислить .

Решение: Здесь применить теорему о пределе дроби нельзя, т.к. предел знаменателя, при х → 2, равен 0. кроме того, предел числителя равен 0. В таких случаях говорят, что имеет неопределенность вида . Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель дроби на множители, затем сократим дробь на х – 2 ≠ 0 (х → 2, но х ≠ 2):

.

Пример 3. Вычислить .

Решение: Здесь мы имеет дело с неопределенностью вида . Для нахождения предела данной дроби разделим числитель и знаменатель на х².

.

Функция есть сумма числа 2 и б.м.ф., а функция есть сумма числа 4 и б.м.ф., поэтому

, .