Предел числовой последовательности

Число а называется пределом последовательности {х_n}, если для любого положительного числа e найдется такое натуральное число N, что при всех n > N выполняется неравенство |x_n - a| < e .

В этом случае пишут или х_n → а при n → и говорят, что последовательность {х_n} имеет предел, равный числу а (или х_n стремится к а). Говорят также, что последовательность {х_n} сходитсяк а.

Коротко определение предела можно записать так:

("e > 0 $N: " n >N Þ |x_n - a| < e) Û .

Геометрический смысл определения предела последовательности.

Неравенство |x_n - a| < e равносильно неравенствам – ε < х_n – а < ε

или а – ε < х_n < а + ε, которые показывают, что элемент х_n находится в

ε-окрестности точки а.

Поэтому определение предела последовательности геометрически можно сформулировать так:

Число а называется пределом последовательности {х_n}, если для любой ε-окрестности точки а найдется натуральное число N, что все значения х_n, для которых n > N, попадут в ε-окрестность точки а.

Ясно, что чем меньше ε, тем больше число N, но в любом случае внутри ε-окрестности точки а находится бесконечное число членов последовательности, а вне ее может быть лишь конечное их число.

Отсюда следует, что сходящаяся последовательность имеет только один предел. Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся. Таковой является, например, последовательность .

Постоянная последовательность х_n = с, n Î N имеет предел, равный числу с, т.е. .