Основные определения. Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида

Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида

,где числа , , называются коэффициентами системы, числа - свободными членами.

Подлежат нахождению числа .

Такую систему удобно записывать в компактной матричной форме

Здесь А - матрица коэффициентов системы, называемая основной матрицей:

, - вектор-столбец из неизвестных ,

- вектор-столбец из свободных членов .

Произведение матриц А • X определено, так как в матрице А столбцов столько же, сколько строк в матрице X (n штук).

Расширенной матрицей системы называется матрица системы, дополненная столбцом свободных членов

Решением системы называется n значений неизвестных , при подстановке которых в систему уравнений все уравнения системы обращаются в верные числовые равенства. Всякое решение системы можно записать в виде матрицы-столбца

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое ее решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением.