Правило решения произвольной системы линейных уравнений.

1. Найти ранги основной и расширенной матриц системы.

2. Если , то система несовместна.

3. Если , система совместна.

4. Найти какой-либо базисный минор порядка г (напоминание: минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным). Взять r уравнений, из коэффициентов которых составлен базисный минор (остальные уравнения отбросить). Неизвестные, коэффициенты которых входят в базисный минор, называют главными, их оставляют слева, а остальные n-r неизвестных называют свободными, их переносят в правые части уравнений.

3. Найти выражения главных неизвестных через свободные. Получено общее решение системы.

4. Придавая свободным неизвестным произвольные значения, получим соответствующие значения главных неизвестных. Таким образом можно найти частные решения исходной системы уравнений.

Пример1. Исследовать на совместность систему

Решение: ,r(A)=1

, ,

Таким образом, , следовательно, система несовместна.

Пример2. Решить систему

Решение: . Берем два первых уравнения:

, ,

Следовательно, — общее решение. Положив, например, , получаем одно из частных решений:

Решение невырожденных линейных систем по Формулам Крамера.

Пусть дана произвольная система n линейных уравнений с n неизвестными

или в матричной форме

Основная матрица А такой системы квадратная. Определитель этой матрицы называется определителем системы. Если определитель системы отличен от нуля, то система называется невырожденной.

Найдем решение данной системы уравнений в случае .

Умножив обе части уравнения слева на матрицу , получим . Поскольку и , то (1)

Отыскание решения системы по формуле (1) называют матричным способом решения системы.

Матричное равенство (1) запишем в виде

Отсюда следует, что

, ,…,

Тогда

Формулы называются формулами Крамера.(2)

Итак, невырожденная система n линейных уравнений с n неизвестными имеет единственное решение, которое может быть найдено матричным способом (1) либо по формулам Крамера (2).

Пример3. Решить систему по формулам Крамера

Решение:1) ,

2) , 3)