Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Одним из наиболее универсальных и эффективных методов решений линейных алгебраических систем является метод Гаусса, состоящий в последовательном исключении неизвестных.

Пусть дана система уравнений

(*)

Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов. На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому (в частности, треугольному) виду.

Приведенная ниже система имеет ступенчатый вид

где . Коэффициенты называются главными элементами системы.

На втором этапе (обратный ход) идет последовательное определение неизвестных из этой ступенчатой системы.

Опишем метод Гаусса подробнее.

Прямой ход.

Будем считать, что элемент (если , то первым в системе запишем уравнение, в котором коэффициент при отличен от нуля).

Преобразуем систему (*), исключив неизвестное во всех уравнениях, кроме первого (используя элементарные преобразования системы). Для этого умножим обе части первого уравнения на и сложим почленно со вторым уравнением системы. Затем умножим обе части первого уравнения на и сложим с третьим уравнением системы. Продолжая этот процесс, получим эквивалентную систему

Здесь — новые значения коэффициентов и правых частей, которые получаются после первого шага.

Аналогичным образом, считая главным элементом , исключим неизвестное х₂ из всех уравнений системы, кроме первого и второго, и так далее. Продолжаем этот процесс, пока это возможно.

Если в процессе приведения системы (*) к ступенчатому виду появятся нулевые уравнения, т. е. равенства вида 0 = 0, их отбрасывают. Если же появится уравнение вида ,а , то это свидетельствует о несовместности системы.

Второй этап (обратный ход) заключается в решении ступенчатой системы. Ступенчатая система уравнений, вообще говоря, имеет бесчисленное множество решений. В последнем уравнении этой системы выражаем первое неизвестное через остальные неизвестные . Затем подставляем значение в предпоследнее уравнение системы и выражаем через , затем находим . Придавая свободным неизвестным произвольные значения, получим бесчисленное множество решений системы.

Замечания:1. Если ступенчатая система оказывается треугольной, т.е. , то исходная система имеет единственное решение. Из последнего уравнения находим , из предпоследнего уравнения , далее поднимаясь по системе вверх, найдем все остальные неизвестные .

2. На практике удобнее работать не с системой (*), а с расширенной ее матрицей, выполняя все элементарные преобразования над ее строками. Удобно, чтобы коэффициент был равен 1 (уравнения переставить местами, либо разделить обе части уравнения на ).

Пример 4. Решить систему методом Гаусса:

Решение: В результате элементарных преобразований над расширенной матрицей системы

исходная система свелась к ступенчатой:

Поэтому общее решение системы: . Если положить, например, , то найдем одно из частных решений этой системы .