Решение.

1a).Находимвектор

= .

2а) Находимвектор

= .

3а)Вычисляем скалярное произведениевекторов :

б)Вычисляем векторное произведение векторов :

1в)Покажем, что векторы образуют базис .Для этого составим определитель, столбцами которого являются координаты этих векторов и покажем, что он отличен от нуля.

Так как , то векторы образуют базиси, следовательно, вектор единственным образом можно разложить по векторам этого базиса.

2в)Записываем разложение вектора по векторам базиса :

или .

Коэффициенты разложения , , называют координатами вектора в базисе и записывают: .

3в)Записываем векторное уравнение относительно , , в виде эквивалентной ему системы линейных уравнений: , и находим единственное решение системы, например, по формулам Крамера:

, где

, , , .

Таким образом: , , . Следовательно, разложение имеет вид: или кратко: .

Ответ: .

6.1-30.Даны вершины треугольника : , , Требуется найти:

а)длину стороны ; б)уравнение стороны ;

в)уравнение медианы , проведённой из вершины ;

г)уравнение высоты , проведённой из вершины ;

д)длину высоты ; е)площадь треугольника .Сделать чертёж.

Решение.Сделаем чертёж:

а)Длинустороны находим как длину вектора :

б) Уравнение стороны находим как уравнение прямой, проходящей через точки и , и записываем его в виде общего уравнения прямой:

в)Уравнение медианы находим как уравнение прямой, проходящей через точки и , и записываем его в виде общего уравнения прямой. Неизвестные координаты точки находим как координаты точки, делящей сторону пополам:

; .

Тогда:

г)Уравнение высоты находим как уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору , который принимаем за нормальный вектор прямой . Тогда