Г) ; д) ; е) .
8.1–30.Установить, какую кривую определяет алгебраическое уравнение второго порядка, построить её:
а) ;б)
;
в) .
Решение:
а)Выделяя полные квадраты в левой части уравнения ,преобразуем его следующим образом:
.
Полученное уравнение определяет гиперболу с центром в точке и осями симметрии параллельными координатным осям. Для построения гиперболы в системе координат
: 1) отмечаем центр гиперболы
; 2) проводим через центр
пунктиром оси симметрии гиперболы; 3) строим пунктиром основной прямоугольник гиперболы с центром
и сторонами
и
параллельными осям симметрии; 4)проводим через противоположные вершины основного прямоугольника пунктиром прямые, являющиеся асимптотами гиперболы, к которым неограниченно близко при бесконечном удалении от начала координат приближаются ветви гиперболы, не пересекая их; 5) изображаем сплошной линией ветви гиперболы (рис. 1).
Ответ:Гипербола с центром в точке (см. рис.1)..
Рис.1
б)Выделяя полные квадраты в левой части
уравнения ,преобразуем его следующим образом:
.
Полученное уравнение определяет эллипс с центром в точке и осями симметрии параллельными осям координат. Для построения эллипса в системе координат
: 1) отмечаем центр эллипса
; 2) проводим через центр
пунктиром оси симметрии эллипса; 3) строим пунктиром основной прямоугольник эллипса с центром
и сторонами
и
параллельными осям симметрии; 4) изображаем сплошной линией эллипс, вписывая его в основной прямоугольник так, чтобы эллипс касался его сторон в точках пересечения прямоугольника с осями симметрии (рис.2).
Ответ:Эллипс с центром в точке (см. рис.2).
в). Выделяя полные квадраты в левой части уравнения ,преобразуем его следующим образом:
Полученное уравнение определяет параболу с вершиной в точке и осью симметрии параллельной оси
. Для построения параболы в системе координат
: 1) отмечаем вершину параболы
; 2) проводим через вершину
пунктиром ось симметрии параболы; 3) изображаем сплошной линией параболу, направляя её ветвь, с учётом того, что параметр параболы
, в положительную сторону оси
(рис.3).
Ответ:Парабола с вершиной в точке (см. рис.3).
Рис.2. Рис.3.
9.1-30.Требуется:
а)найтиобласть определения функции ;
б)установить чётность (нечётность) функции.
Решение. а)Естественную область определения находим как множество всех значений аргумента
функции, для которых формула
имеет смысл:
. Решив (на числовой прямой) систему неравенств
, устанавливаем, что геометрическим образом множества
является промежуток
.
б)Находимсначала естественнуюобласть определения функции :
. Решив (на числовой прямой) неравенство
, устанавливаем, что геометрическим образом множества
является объединение промежутков
.
Так как область является симметричной относительно точки
, то проверяем выполнение для всех
условий:
или
, учитывая чётность и нечётность основных элементарных функций, входящих в аналитическое выражение
.
Если область не симметрична относительно точки
, то
на этом множестве является функцией общего вида.
Для этого находим . Поскольку
для всех
, то функция
является чётной.
Ответ: а)
,
;
б)функция - чётная.
10.1-30.Вычислить пределы (не пользуясь правилом Лопиталя):
а) б)
в)
г)
д)
Вычисление предела , где
, начинают всегда с подстановки в
предельного значения её аргумента
. В результате могут получиться неопределённости
,
,
, которые раскрывают тождественными преобразованиями
такими, чтобы преобразованное выражение получилось определённым. При вычислении пределов используют свойства конечных пределов и бесконечно больших функций, а также следующие известные пределы:
,
,
(
),
,
,
,
,
.
Решение. а) При подстановке вместо переменной
её предельного значения
получим неопределённость
. Для её раскрытия сначала разделим числитель и знаменатель дроби на
(старшую степень переменной
в числителе и знаменателе), после чего используем свойства конечных пределов и бесконечно больших функций. Получим
.
б) При подстановке вместо переменной
её предельного значения
получим неопределённость
. Для её раскрытия выделим в числителе и знаменателе дроби общий множитель вида
, где
- некоторое число, т.е. множитель
. Затем сократим на него числитель и знаменатель дроби, после чего используем свойства пределов.
1) В квадратном трёхчлене множитель выделяют разложением квадратного трёхчлена по формуле
, где
. 2) В выражении
множитель выделяют следующим способом:
.
В результате получим
.
в) При подстановке вместо переменной
её предельного значения
получим неопределённость
. Выделим в числителе множители вида
, где
при
и используем свойства пределов. Получим
Для раскрытия неопределённостей , содержащих тригонометрические и обратные тригонометрические функции, в числителе и знаменателе дроби выделяют сначала множители вида:
,
,
,
, где
при
, используя формулы тригонометрии:
,
,
. После чего применяют свойства пределов, учитывая, что:
,
,
,
.
.
г)
Для раскрытия неопределённости , возникающей при вычислении предела
, где
,
, сначала выражение
представляют в виде
, где
при
. После чего используют свойства пределов, заменяя выражение
его предельным значением
и учитывая, что
=
.
При подстановке вместо переменной её предельного значения
получим неопределённость
. Представим
в виде
, где
при
,следующим способом:
=
. Тогда учитывая, что
,
, получим
=
=
.
Дата добавления: 2014-12-04; просмотров: 868;