Краткие теоретические сведения. Квадратной матрицей порядканазывается квадратная таблица из чисел (
Тема 1. Определители.
Квадратной матрицей порядканазывается квадратная таблица из чисел ( , ): , состоящая из строк и столбцов. У квадратной матрицы различают главную диагональ: и побочную диагональ: . Любой квадратной матрице порядка можно поставить в соответствие число , равное алгебраической сумме слагаемых, составленных определённым образом из элементов матрицы ,называемое определителем матрицы. Кратко обозначается , .
Определителем 1-ого порядка называется число .
Определителем 2-ого порядка называется число
.
Определителем 3-его порядка называется число
.
Минором элемента называется определитель , полученный из определителя вычёркиванием -ой строки и -ого столбца.
Алгебраическим дополнением элемента называется его минор , взятый со знаком :
.
Определителем порядка называется число
Разложением определителя по -ой строке ( ) называется соотношение: .
Разложением определителя по -ому столбцу ( ) называется соотношение:
Определители обладают следующими свойствами:
1) определитель не изменится при замене всех его строк столбцами с теми же номерами;
2) определитель изменит знак на противоположный, если переставить местами любые две строки (два столбца) определителя;
3) общий множитель элементов какой-либо строки (столбца) можно вынести за знак определителя;
4) определитель равен нулю, если он содержит нулевую строку (столбец), две одинаковые или пропорциональные строки (столбца);
5) определитель не изменится, если к какой-либо строке (столбцу) прибавить другую строку (столбец), умноженную на любое число;
6) определитель треугольного вида (когда все элементы, лежащие по одну сторону одной из его диагоналей равны нулю) равен произведению диагональных элементов: .
Тема 2. Матрицы.
Матрицей размера называется прямоугольная таблица из чисел ( , ): , состоящая из строк и столбцов. Если необходимо указать размеры матрицы, то пишут .
Если , то матрица называется квадратной.
Нулевой называется матрица , все элементы которой равны нулю, например: . Единичной называется квадратная матрица , на главной диагонали которой стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю, например: . Треугольной называется квадратная матрица , все элементы которой расположенные по одну сторону от главной диагонали равны нулю, например: . Трапециевидной (ступенчатой) называется матрица , все элементы которой, расположенные ниже элементов равны нулю, например: .
Матрицы и называются равными и пишут , если они одинакового размера и их соответствующие элементы равны: , , .
Матрицы можно транспонировать, складывать, вычитать, умножать на число, умножать на другую матрицу.
Транспонированной к матрице называется матрица , столбцами которой являются соответствующие строки матрицы .
Суммой (разностью) матриц и одного размера , называется матрица того же размера, для которой:
, , .
Произведением матрицы размера на число называется матрица того же размера, для которой: , , .
Линейной комбинацией матриц иодного размера , называется матрица того же размера ( и - произвольные числа), для которой: , , ,
Произведением матрицы на матрицу называется матрица , каждый элемент которой вычисляется по правилу:
, , .
Операция умножения матрицы на матрицу определена не для всех матриц, а только для таких у которых число столбцов левой матрицы равно числу строк правой матрицы . Такие матрицы называются согласованнымидля умножения. Поэтому прежде чем выполнять операцию умножения матрицы на матрицу следует проверить их согласованность для умножения и определить размерность матрицы-произведения (если умножение матриц возможно): . Особенность операции умножения матриц состоит в том, что в общем случае: , т.е. переместительное свойство места не имеет.
Элементарными преобразованиями матрицы называются:
1) перестановка строк (столбцов);
2) умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;
3) прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число;
4) вычёркивание нулевой строки (столбца).
Матрицы и , полученные одна из другой в результате элементарных преобразований называются эквивалентнымии пишут .
Обратнойк квадратной матрице порядка , называется матрица того же порядка, если: , где - единичная матрица порядка .
Квадратная матрица называется невырожденной, если её определитель . Обратная матрица всегда существует для невырожденных матриц.
Основными методами вычисления обратной матрицы являются:
Метод присоединённой матрицы. Если -невырожденная матрица, то , где - присоединённая матрица, для которой: . Здесь - алгебраические дополнения элементов матрицы .
В частности, если , то
Метод элементарных преобразований.Для данной квадратной матрицы порядка строится прямоугольная матрица размера приписыванием к справа единичной матрицы. Далее, с помощью элементарных преобразований над строками, матрица приводится к виду , что всегда возможно, если - невырожденная.
Матричныминазываются уравнения вида: , , ,
где матрицы - известны, матрица - неизвестна. Если квадратные матрицы и - невырожденные, то решения матричных уравнений записываются, соответственно, в виде: , , .
Минором -ого порядка матрицы размера называется определитель квадратной матрицы порядка , образованной элементами матрицы , стоящими на пересечении произвольно выбранных её строк и столбцов .
Максимальный порядок отличных от нуля миноров матрицы , называется её рангом и обозначается или , а любой минор порядка , отличный от нуля – базисным минором.
Тема 3. Системы линейных уравнений.
…Система уравнений вида: называется системой линейных уравнений с неизвестными. Числа называются коэффициентами системы, - свободными членами системы, - неизвестными системы.
В матричной форме система имеет вид: , где , , .Здесь -матрица системы, -матрица-столбец неизвестных, -матрица-столбец свободных членов.
Если , то система называется однородной, в противном случае неоднородной.
Дата добавления: 2014-12-04; просмотров: 1055;