Где -объём параллелепипеда, построенного на векторах , и .

Общее уравнение , где , определяющее невырожденную кривую (окружность, эллипс, гиперболу, параболу), всегда (методом выделения полных квадратов) можно привести к уравнению одного из следующих видов:

1а) -уравнение окружности с центром в точке и радиусом (рис. 5).

1б) - уравнение эллипса с центром в точке и осями симметрии, параллельными координатным осям. Числа и - называются полуосями эллипса; прямоугольник со сторонами , параллельными осям симметрии и центром в точке - основным прямоугольником эллипса; точки пересечения основного прямоугольника с осями симметрии - вершинами эллипса.

Для построения эллипса в системе координат :1) отмечаем центр эллипса; 2) проводим через центр пунктирной линией оси симметрии эллипса; 3) строим пунктиром основной прямоугольник эллипса с центром и сторонами , параллельными осям симметрии; 4) изображаем сплошной линией эллипс, вписывая его в основной прямоугольник так, чтобы эллипс касался его сторон только в вершинах эллипса (рис.6) .

Аналогично строится и окружность, основной прямоугольник которой имеет стороны (рис. 5).

Рис.5 Рис 6

2) - уравнения гипербол (называемых сопряжёнными) с центром в точке и осями симметрии, параллельными координатным осям. Числа и - называются полуосями гипербол; прямоугольник со сторонами , параллельными осям симметрии и центром в точке - основным прямоугольником гипербол; точки пересечения основного прямоугольника с осями симметрии - вершинами гипербол; прямые , проходящие через противоположные вершины основного прямоугольника – асимптотами гипербол.

Для построения гиперболы в системе координат : 1) отмечаем центр гиперболы ; 2) проводим через центр пунктирной линией оси симметрии гиперболы; 3) строим пунктиром основной прямоугольник гиперболы с центром и сторонами и параллельными осям симметрии; 4)проводим через противоположные вершины основного прямоугольника пунктирной линией прямые, являющиеся асимптотами гиперболы, к которым неограниченно близко, при бесконечном удалении от начала координат, приближаются ветви гиперболы, не пересекая их; 5) изображаем сплошной линией ветви гиперболы (рис. 7) или гиперболы (рис. 8).

Рис.7 Рис.8

3а) - уравнение параболы с вершиной в точке и осью симметрии, параллельной координатной оси (рис. 9).

3б) - уравнение параболы с вершиной в точке и осью симметрии, параллельной координатной оси (рис. 10).

Для построения параболы в системе координат : 1) отмечаем вершину параболы ; 2) проводим через вершину пунктирной линией ось симметрии параболы; 3) изображаем сплошной линией параболу, направляя её ветвь, с учётом знака параметра параболы : при - в положительную сторону координатной оси, параллельной оси симметрии параболы (рис. 9а и 10а); при - в отрицательную сторону координатной оси (рис.9б и 10б) .

Рис. 9а Рис. 9б

Рис. 10а Рис. 10б

Тема 7. Множества. Числовые множества. Функция.

Под множествомпонимают некоторую совокупность объектов любой природы, различимых между собой и мыслимую как единое целое. Объекты, составляющие множество называют его элементами. Множество может быть бесконечным (состоит из бесконечного числа элементов), конечным (состоит из конечного числа элементов), пустым (не содержит ни одного элемента). Множества обозначают: , а их элементы: . Пустое множество обозначают .

Множество называют подмножествоммножества , если все элементы множества принадлежат множеству и пишут . Множества и называют равными, если они состоят из одних и тех же элементов и пишут . Два множества и будут равны тогда и только тогда, когда и .

Множество называют универсальным(в рамках данной математической теории),если его элементами являются все объекты, рассматриваемые в данной теории.

Множество можно задать: 1) перечислением всех его элементов, например: (только для конечных множеств); 2) заданием правила определения принадлежности элемента универсального множества , данному множеству : .

Объединениеммножеств и называется множество

.

Пересечением множеств и называется множество

.

Разностью множеств и называется множество

.

Дополнениеммножества (до универсального множества ) называется множество .

Два множества и называются эквивалентными и пишут ~ , если между элементами этих множеств может быть установлено взаимно однозначное соответствие. Множество называется счётным, если оно эквивалентно множеству натуральных чисел : ~ . Пустое множество по определению относится к счётным.

Понятие мощности множества возникает при сравнении множеств по числу содержащихся в них элементов. Мощность множества обозначают . Мощностью конечного множества является число его элементов.

Эквивалентные множества обладают равной мощностью. Множество называется несчётным, если его мощность больше мощности множества .

Действительным (вещественным) числом называется бесконечная десятичная дробь, взятая со знаком «+» или « ». Действительные числа отождествляют с точками числовой прямой. Модулем (абсолютной величиной) действительного числа называется неотрицательное число:

Множество называется числовым, если его элементами являются действительные числа.Числовыми промежутками называются множества чисел: , , , , , , , , .

Множество всех точек на числовой прямой, удовлетворяющих условию , где - сколь угодно малое число, называется -окрестностью(или просто окрестностью) точки и обозначается . Множество всех точек условием , где - сколь угодно большое число, называется -окрестностью (или просто окрестностью) бесконечности и обозначается .

Величина, сохраняющая одно и тоже числовое значение, называется постоянной. Величина, принимающая различные числовые значения, называется переменной. Функцией называется правило, по которому каждому числу ставится в соответствие одно вполне определённое число , и пишут . Множество называется областью определенияфункции, - множеством (или областью) значенийфункции, - аргументом, - значением функции. Наиболее распространённым способом задания функции является аналитический способ, при котором функция задаётся формулой. Естественной областью определенияфункции называется множество значений аргумента , для которого данная формула имеет смысл. Графиком функции , в прямоугольной системе координат , называется множество всех точек плоскости с координатами , .

Функция называется чётнойна множестве , симметричном относительно точки , если для всех выполняется условие: и нечётной, если выполняется условие . В противном случае - функция общего вида или ни чётная, ни нечётная.

Функция называется периодическойна множестве , если существует число (период функции), такое, что для всех выполняется условие: . Наименьшее число называется основным периодом.

Функция называется монотонно возрастающей (убывающей) на множестве , если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции .

Функция называется ограниченнойна множестве , если существует число , такое, что для всех выполняется условие: . В противном случае функция - неограниченная.

Обратной к функции , , называется такая функция , которая определена на множестве и каждому

ставит в соответствие такое , что . Для нахождения функции , обратной к функции , нужно решить уравнение относительно . Если функция , является строго монотонной на , то она всегда имеет обратную, при этом, если функция возрастает (убывает), то обратная функция также возрастает (убывает).

Функция , представляемая в виде , где , - некоторые функции такие, что область определения функции содержит всё множество значений функции , называется сложной функцией независимого аргумента . Переменную называют при этом промежуточным аргументом. Сложную функцию называют также композицией функций и , и пишут: .

Основными элементарными функциями считаются: степенная функция , показательная функция ( , ), логарифмическаяфункция ( , ), тригонометрическиефункции , , , , обратные тригонометрические функции , , , . Элементарнойназывается функция, полученная из основных элементарных функций конечным числом их арифметических операций и композиций.

Если задан график функции , , то построение графика функции сводится к ряду преобразований (сдвиг, сжатие или растяжение, отображение) графика :

1)преобразование симметрично отображает график , относительно оси ; 2) преобразование симметрично отображает график , относительно оси ; 3) преобразование сдвигает график по оси на единиц ( - вправо, - влево); 4) преобразование сдвигает график по оси на единиц ( - вверх, - вниз); 5) преобразование график вдоль оси растягивает в раз, если или сжимает в раз, если ; 6) преобразование график вдоль оси сжимает в раз, если или растягивает в раз, если .

Последовательность преобразований при построении графика функции можно представить символически в виде:

.

Примечание. При выполнении преобразования следует иметь в виду, что величина сдвига вдоль оси определяется той константой, которая прибавляется непосредственно к аргументу , а не к аргументу .

Графиком функции является парабола с вершиной в точке , ветви которой направлены вверх, если или вниз, если . Графиком дробно-линейной функции является гипербола с центром в точке , асимптоты которой проходят через центр, параллельно осям координат.

В некоторых случаях при построении графика функции целесообразно разбить её область определения на несколько непересекающихся промежутков и последовательно строить график на каждом из них. Например, при построении графика функции, в аналитическое выражение которой входит функция , следует выделить и рассмотреть отдельно промежутки, на которых выражение под знаком модуля не меняет знак.

График функции можно построить, предварительно построив графики функций и , а затем сложив их ординаты при одинаковых значениях .

Тема 8. Предел функции. Эквивалентные функции.

Число называется пределом функции при (или в точке ), и пишут , если для любого числа найдётся число такое, что при всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

Число называется пределом функции при , и пишут , если для любого числа найдётся число такое, что при всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

Рассматривают также односторонние пределы функций: , , , , где стремится к , , или только с левой стороны или только с правой стороны.

Основные утверждения, используемые для вычисления пределов функций при (в дальнейшем - или число или символ ):

1) Если - постоянная величина, то .

2) Если существуют конечные пределы , , то:

а) ; б) ;

в) ; г) , если .

При вычислении пределов постоянно пользуются и тем, что для любой основной элементарной функции и точки из её области определения справедливо соотношение .

Функция называется бесконечно большой при , если . Функция называется бесконечно малой при , если .

Основные утверждения для бесконечно больших функций, используемые для вычисления пределов при :

1) Если , то ,если , то

2) Если и , то .

3) Если и , то .

4) Если и , то .

5) Если и , то .

6) Если и , то .

Если непосредственное применение свойств конечных пределов и бесконечно больших функций приводит к неопределённым выражениям, символически обозначаемым: , то для вычисления предела – «раскрытия неопределённости» - преобразовывают выражение так, чтобы получить возможность его вычислить.

Первым замечательным пределом называется предел: . Следствиями из него являются пределы:

, ,

Вторым замечательным пределом называются пределы:

,

где -основание натуральных логарифмов (число Непера). Он используется для вычисления предела степенно-показательной функции , где и .

При нахождении пределов следует иметь в виду:

1) Если , , то .

2) Если , , то вычисляют, учитывая, что: , .

Бесконечно малые функции и при называются эквивалентными, и пишут ~ , если .

Принцип замены эквивалентных бесконечно малых функций, состоит в том, что при вычислении предела частного или произведения одну из функций (или обе) в этих выражениях можно заменить эквивалентной функцией. Так, если ~ , ~